標題: De Bruijn序列與計算二進制數(shù)計算末尾0的個數(shù) [打印本頁]
作者: bibi    時間: 2015-4-18 21:11
標題: De Bruijn序列與計算二進制數(shù)計算末尾0的個數(shù)
　　下面這個位運算小技巧可以迅速給出一個數(shù)的二進制表達中末尾有多少個 0 。比如， 123 456 的二進制表達是 1 11100010 01000000 ，因此這個程序給出的結(jié)果就是 6 。
unsigned int v;  // find the number of trailing zeros in 32-bit v
int r;           // result goes here
static const int MultiplyDeBruijnBitPosition[32] =
{
  0, 1, 28, 2, 29, 14, 24, 3, 30, 22, 20, 15, 25, 17, 4, 8,
  31, 27, 13, 23, 21, 19, 16, 7, 26, 12, 18, 6, 11, 5, 10, 9
};
r = MultiplyDeBruijnBitPosition[((uint32_t)((v & -v) * 0x077CB531U)) >> 27];
    熟悉位運算的朋友們可以認出， v & -v 的作用就是取出右起連續(xù)的 0 以及首次出現(xiàn)的 1 。當 v = 123 456 時， v & -v 就等于 64 ，即二進制的 1000000 。怪就怪在，這個 0x077CB531 是怎么回事？數(shù)組 MultiplyDeBruijnBitPosition 又是什么玩意兒呢？

    這還得從 0x077CB531 本身的一個性質(zhì)開始說起。把這個常數(shù)寫成 32 位二進制，可以得到
00000111011111001011010100110001
    這個 01 串有一個無比牛 B 的地方：如果把它看作是循環(huán)的，它正好包含了全部 32 種可能的 5 位 01 串，既無重復，又無遺漏！其實，這樣的 01 串并不稀奇，因為構(gòu)造這樣的 01 串完全等價于尋找一個有向圖中的 Euler 回路。如下圖，構(gòu)造一個包含 16 個頂點的圖，頂點分別命名為 0000, 0001, 0010, …, 1111 。如果某個點的后 3 位，正好等于另一個點的前 3 位，就畫一條從前者出發(fā)指向后者的箭頭。也就是說，只要兩個頂點上的數(shù)滿足 abcd 和 bcde 的關系（ a 、 b 、 c 、 d 、 e 可能代表相同的數(shù)字），就從 abcd 出發(fā)，連一條到 bcde 的路，這條路就記作 abcde 。注意，有些點之間是可以相互到達的（比如 1010 和 0101 ），有些點甚至有一條到達自己的路（比如 0000 ）。
  
    構(gòu)造一個字符串使其包含所有可能的 5 位 01 子串，其實就相當于沿著箭頭在上圖中游走的過程。不妨假設字符串以 0000 開頭。如果下一個數(shù)字是 1 ，那么 00001 這個子串就被包含了，同時最新的 4 位數(shù)就變成了 0001 ；但若下一個數(shù)字還是 0 ，那么 00000 就被包含了進來，最新的 4 個數(shù)仍然是 0000 。從圖上看，這無非是一個從 0000 點出發(fā)走了哪條路的問題：你是選擇了沿 00001 這條路走到了 0001 這個點，還是沿著 00000 這條路走回了 0000 這個點。同理，每添加一個數(shù)字，就相當于沿著某條路走到了一個新的點，路上所寫的 5 位數(shù)就是剛被考慮到的 5 位數(shù)。我們的目的便是既無重復又無遺漏地遍歷所有的路。顯然圖中的每個頂點入度和出度都是 2 ，因此這個圖一定存在 Euler 回路，我們便能輕易構(gòu)造出一個滿足要求的 01 串了。這樣的 01 串就叫做 De Bruijn 序列。
    De Bruijn 序列在這里究竟有什么用呢？它的用途其實很簡單，就是為 32 種不同的情況提供了一個唯一索引。比方說， 1000000 后面有 6 個 0 ，將 1000000 乘以 0x077CB531 ，就得到
   00000111011111001011010100110001
-> 11011111001011010100110001000000
    相當于把 De Bruijn 序列左移了 6 位。再把這個數(shù)右移 27 位，就相當于提取出了這個數(shù)的頭 5 位：
   11011111001011010100110001000000
->                            11011
    由于 De Bruijn 序列的性質(zhì)，因此當輸入數(shù)字的末尾 0 個數(shù)不同時，最后得到的這個 5 位數(shù)也不同。而數(shù)組 MultiplyDeBruijnBitPosition 則相當于一個字典的功能。 11011 轉(zhuǎn)回十進制是 27 ，于是我們查一查 MultiplyDeBruijnBitPosition[27] ，程序即返回 6 。
    注意到當輸入數(shù)字的末尾 0 個數(shù)超過 27 個時，程序也是正確的，因為左移時低位正好是用 0 填充的。
    這段神一般的代碼取自Bit Twiddling Hacks  http://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html ，歡迎大家前去圍觀






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