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拓?fù)鋵W(xué)(Topology)是在19世紀(jì)末興起并在20世紀(jì)中迅速蓬勃發(fā)展的一門(mén)數(shù)學(xué)分支，其中拓?fù)渥儞Q在許多領(lǐng)域均有其用途。直至今日，從拓?fù)鋵W(xué)所衍生出來(lái)的知識(shí)已和近世代數(shù)、分析共同成為數(shù)學(xué)理論的三大支柱。
　拓?fù)鋵W(xué)的最簡(jiǎn)單觀念產(chǎn)生于對(duì)周?chē)澜绲闹苯佑^察。直觀的說(shuō)，關(guān)于圖形的幾何性質(zhì)探討，不限于它們的“度量”性質(zhì)(長(zhǎng)度、角度等等)方面的知識(shí)。拓?fù)鋵W(xué)探討各種幾何形體的性質(zhì)，但是其內(nèi)容卻與幾何學(xué)的范疇不盡相同，多數(shù)的討論都是圍繞在那些與大小、位置、形狀無(wú)關(guān)的性質(zhì)上。例如，曲線(繩子、電線、分子鏈…)不論有多長(zhǎng)，它可以是閉合或不是閉合的。如果曲線是閉合的，則它可以是“纏繞”得很復(fù)雜的。兩條以上的閉曲線可以互相套起來(lái)，而且有很多型式。立體及它們的表面可以是有“孔洞”的，在不割裂、破壞孔洞下，它們?cè)试S做任意的伸縮及變形。這種變形不會(huì)減少或增加孔動(dòng)數(shù)量，就叫做它的“拓?fù)湫再|(zhì)”。一個(gè)橡皮圈，在它的彈性限度內(nèi)，任憑我們把它拉長(zhǎng)、扭轉(zhuǎn)，只要不把它弄斷，那么它永遠(yuǎn)是一個(gè)圈圈。拉長(zhǎng)使它的長(zhǎng)度改變了，扭轉(zhuǎn)使它的形狀改變了，然而在拓?fù)鋵W(xué)上不會(huì)理會(huì)這些，只是專(zhuān)注在“它永遠(yuǎn)有一個(gè)圈圈”上。
A. 拓?fù)渫吲c等價(jià)性質(zhì)
　拓?fù)鋵W(xué)只探討各種幾何形體的內(nèi)稟特質(zhì)。一個(gè)幾何圖形的性質(zhì)，經(jīng)由一拓?fù)渥儞Q作用后維持不變，該性質(zhì)稱為圖形的拓?fù)湫再|(zhì)。下面兩組圖形從拓?fù)渥儞Q角度來(lái)看，它們分別是“等價(jià)”的。任何三角形、方形、圓形及橢圓的內(nèi)稟特質(zhì)，從拓?fù)鋵W(xué)的立場(chǎng)看來(lái)，它們都沒(méi)有任何區(qū)別。然而，在初等幾何學(xué)中，這些圖形的形狀、面積、周長(zhǎng)等都是不相同的。
　如果我們把一個(gè)橡皮制的物體X任意的扭轉(zhuǎn)、拉長(zhǎng)，但不可把它撕開(kāi)或斷，而得到另一形狀的物體Y，我們稱這兩個(gè)物體X和Y在拓?fù)渖鲜且环N“同胚”或“等價(jià)”的結(jié)構(gòu)。廣義的來(lái)說(shuō)，在一個(gè)物體到另一個(gè)物體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果它是不間斷，又不重復(fù)，則在拓?fù)渖戏Q這個(gè)關(guān)系在兩物體間建立一個(gè)“同胚”變換。兩個(gè)物體間如果存在有這種關(guān)系，則稱它們?yōu)椤巴負(fù)渫摺薄?br /> 　例如，任意一個(gè)三角形在任意延伸、伸縮的變形變換中，可以迭合住一個(gè)圓形。所以這個(gè)延伸、伸縮變換是一種同胚變換，因而三角形和圓形在拓?fù)渖媳灰暈槭峭呋虻葍r(jià)的。
　拓?fù)鋵W(xué)就是探討同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)之一門(mén)學(xué)科。網(wǎng)絡(luò)、歐拉定理、曲面、向量場(chǎng)、四色問(wèn)題、結(jié)、覆蓋等，都是拓?fù)鋵W(xué)研究的重要課題。
B. 不可思議的拓?fù)渥儞Q
　法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincaré, 1854～1912)以他豐富的想象力及抽象的思維能力，提出圖1中的兩個(gè)物體是等價(jià)(同胚)的，也就是說(shuō)，您可以從其中一個(gè)開(kāi)始，經(jīng)由拓?fù)渥儞Q得出另一個(gè)，您認(rèn)為可能嗎？

　關(guān)于Möbius帶是怎樣發(fā)現(xiàn)的﹐有這樣一個(gè)故事：有一次﹐莫比烏斯在海濱度假。到了晚上﹐蒼蠅太多﹐使他難以入睡。于是他把黏蠅紙扭轉(zhuǎn)半圈﹐然后把兩端粘到一起﹐形成一個(gè)紙環(huán)。再把這樣的紙環(huán)掛在假期別墅的椽頭上。他臨時(shí)制作的捕捉蒼蠅的紙帶很管用﹐他睡覺(jué)沒(méi)有再受蒼蠅的干擾。早晨醒來(lái)﹐他的目光落在那個(gè)紙環(huán)上﹐驚訝地發(fā)現(xiàn)這條紙只有一個(gè)面﹐并且只有一條棱。著名的Möbius帶于是誕生了，當(dāng)然這只是個(gè)有趣的傳說(shuō)。
A. 單側(cè)的曲面
　這個(gè)扭轉(zhuǎn)一次紙帶所得到的Möbius帶有何特別的幾何性質(zhì)呢？我們看圖4這個(gè)一般的紙環(huán)，在紙環(huán)內(nèi)，垂直于紙面的一個(gè)法向量，總是由紙面指向圓形紙環(huán)的環(huán)心處，在紙環(huán)外，垂直于紙面的一個(gè)法向量，總是指向外面；但是對(duì)Möbius 帶而言，就沒(méi)有這種情形。

　從上面操作中發(fā)現(xiàn)，剪一刀后的Möbius帶并不會(huì)被分成兩個(gè)紙環(huán)，而是形成一個(gè)更大的紙環(huán)。您知道為什么嗎？
　如果我們將Möbius帶的紙面寬畫(huà)上三等份，沿兩條等分線剪開(kāi)，及結(jié)果會(huì)如何？又剪三刀成為四等份呢？
C. Möbius 帶與紙環(huán)的拓?fù)渫呓Y(jié)構(gòu)
　從一條紙帶扭轉(zhuǎn)一次接合后得到Möbius 帶，經(jīng)過(guò)剪刀剪一刀后，得到一個(gè)瘦長(zhǎng)的紙環(huán)，它是一個(gè)紙帶扭轉(zhuǎn)三次接合后的圖形。可以發(fā)現(xiàn)它們都是單側(cè)的圖形。
　從上述拓?fù)溆^點(diǎn)來(lái)看，在它們之間存在一個(gè)變換，維持了它們都是單側(cè)的性質(zhì)，稱它們是同胚的。想一想，一個(gè)未經(jīng)扭轉(zhuǎn)的紙環(huán)和一個(gè)經(jīng)由兩次扭轉(zhuǎn)所得的紙環(huán)，是否是同胚？

三、雙人脫困游戲
　在6圖中，如果不解開(kāi)手腕上的繩結(jié)，不破壞、不剪斷繩子的情況下，怎樣幫助他們脫困？將這一對(duì)男女分開(kāi)呢？請(qǐng)找一個(gè)同伴一起動(dòng)手操作試試看!