標(biāo)題:
對于微分方程細(xì)節(jié)的一些總結(jié)
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作者:
51黑fan
時間:
2016-1-29 18:12
標(biāo)題:
對于微分方程細(xì)節(jié)的一些總結(jié)
可分離變量微分方程稱為：
X
與
Y
都可以放在兩邊，分別進(jìn)行積分
齊次微分方程
齊次叫法：
“齊次”從詞面上解釋是“次數(shù)相等”的意思。
微分方程中有兩個地方用到“齊次”的叫法：
1
、形如
y'=f(y/x)
的方程稱為“齊次方程”，這里是指方程中每一項關(guān)于
x
、
y
的次數(shù)都是相等的，例如
x^2,xy,y^2
都算是二次項，而
y/x
算
0
次項，方程
y'=1+y/x
中每一項都是
0
次項，所以是“齊次方程”。
2
、形如
y''+py'+qy=0
的方程稱為“齊次線性方程”，這里“齊次”是指方程中每一項關(guān)于未知函數(shù)
y
及其導(dǎo)數(shù)
y',y'',
……的次數(shù)都是相等的（都是一次），而方程
y''+py'+qy=x
就不是“齊次”的，因為方程右邊的項
x
不含
y
及
y
的導(dǎo)數(shù)，是關(guān)于
y,y',y'',
……的
0
次項，因而就要稱為“非齊次線性方程”。
另外在線性代數(shù)里也有“齊次”的叫法，例如
f=ax^2+bxy+cy^2
稱為二次齊式，即二次齊次式的意思，因為
f
中每一項都是關(guān)于
x
、
y
的二次項。
線性
最通俗的講：線性指的方程中沒有冪指運(yùn)算
,
即沒有次方、根號、對數(shù)、三角函數(shù)等運(yùn)算
,
只包含變量與其系數(shù)
線性指的是方程中函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)本身都是一次的
,
但這里僅僅是對于
y
本身來說
,
對
x
沒限制
.
也就是說
y'+p(x)y+q(x)=0
的形式
.
其中對于
p(x)
和
q(x)
并不做限制
.
形式如
(y')
2
+p(x)y+q(x)=0, y'+p(x)y
2
+q(x)=0
等形式的就不再是線性方程
.
為了更好的理解
.
可以這樣打個比方
,
對于曾經(jīng)學(xué)過的一次函數(shù)
ax+by+c=0,ab
不同時為
0.
只要把其中的
x
和
y
換成微分方程中的
y'
和
y
即可
,
變換后的方程即為線性微分方程
.
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