標(biāo)題: 關(guān)于雞兔同籠與二元一次方程的笑談——非常淺地談數(shù)學(xué)的內(nèi)涵 [打印本頁]
作者: 51hei小名    時間: 2016-6-20 22:00
標(biāo)題: 關(guān)于雞兔同籠與二元一次方程的笑談——非常淺地談數(shù)學(xué)的內(nèi)涵
    注：本文不適合有一定數(shù)學(xué)經(jīng)驗理解的人和數(shù)學(xué)專家閱讀。
    關(guān)于雞兔同籠問題，有一個傳的很廣的笑話。原文照搬如下：


    雞和兔15只，共有40只腳，雞和兔各幾只？算法：假設(shè)雞和兔訓(xùn)練有素，吹一聲哨，抬起一只腳，40－15＝25。再吹哨，又抬起一只腳，25－15＝10，這時雞都一屁股坐地上了，兔子還兩只腳立著。所以，兔子有10÷2＝5只，雞有15－5＝10只。這種算法，讓二元一次方程情何以堪�！�


    說實話，我看了之后確實笑了，但不是因為這個笑話本身好笑，而是這個笑話，以及作出這個笑話的人對數(shù)學(xué)的認(rèn)識不夠。
    在本文中，我將向您揭示這個笑話的數(shù)學(xué)實質(zhì)，并由此簡要地、非常淺地談一下數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，這包括代數(shù)與實際之間的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)是如何抽象生活中的概念的。最后，您將能知道如何將一個實際問題的代數(shù)解法轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋�算術(shù)解法。

    首先，讓我們來回顧一下這個問題的二元一次方程的解法。
    設(shè)雞x只，兔y只，則x與y滿足如下方程：

    x + y   = 15  (1)
    2x + 4y = 40  (2)

    現(xiàn)在，我們?nèi)缦逻M(jìn)行：
        將（2）式連續(xù)減去兩次（1）式
            第一次減得到 x + 3y = 25
            第二次減得到 2y = 10
            故 y = 5。
            因此 x = 15 - y = 10。

    我想，有一定觀察能力的人已經(jīng)看出問題來了。是的，這兩個解法完全是一樣的，不僅如此，二元一次方程反而更加簡潔，無論是在運(yùn)算還是在思路上都更加簡單、清晰、容易接受。問題就出在很多人沒有真正理解在數(shù)學(xué)語言——數(shù)學(xué)是抽象的語言，它不代表具體事物，而是可以代表任何事物，甚至于數(shù)學(xué)本身！——如果我把雞和兔換成圓規(guī)和方桌呢？
    二元一次方程哪里會“情何以堪”，他正在哈哈大笑呢！他會說：“笑的就是那些沒有真正理解我，反而嘲笑我的人。”

    事實上，從代數(shù)的語言，我們還可以得到許多看起來是“完全不同的、更加奇思妙想”的解法。下面再擺這兩個方程：

    x + y   = 15  (1)
    2x + 4y = 40  (2)

    現(xiàn)在，我們用另外的方法解它：
        將（2）式除以2
            x + 2y = 20
        將上式減去(1)
            y = 5
        由此得
            x = 15 - y = 10

    上面的解法不難變成如下“奇思妙想”的解法：

    讓雞和兔各自抬起一半的腳，此時雞一只腳支地，兔兩只腳，因此兔數(shù)等于腳數(shù)減去頭數(shù)，得5，故兔5只，雞15-5=10只。


    下面再擺這兩個方程：

    x + y   = 15  (1)
    2x + 4y = 40  (2)

    現(xiàn)在，我們用另外的方法解它：
        將從1中解出y
            y = 15 - x
        將上式代入(2)
            2x + 4×(15 - x) = 40
            (2 - 4)x + 4×15 = 40
            (4 - 2)x = 4×15 - 40
            x = (4×15 - 40)÷(4 - 2)
              = 10

    上面的解法不難變成如下“奇思妙想”的解法：

    給每只雞或兔都戴一個“四腳帽”，“頭上面的腳”的總和就會比真正的腳多出兩倍雞的數(shù)量，因此減出雞10只，兔15-10=5只！

    事實上，我們只不過是把題目
         雞和兔15只，共有40只腳，雞和兔各幾只？
    改成如下陳述：
        雞 + 兔 = 15
        2雞 + 4兔 = 40
    而已，這個陳述顯然跟原題目沒有區(qū)別（等價）。而“雞”在這里完全可以抽象為“x”，因為我們關(guān)心的只是雞的個數(shù)而非實際的雞。
        x + y = 15
        2x + 4y = 40
    對x和y的每一個操作，包括加一，乘二，除二，開方等等，都有其實際的內(nèi)涵在里面�？上н@種對代數(shù)方程再簡單不過的理解，我們的教材不講，老師也不談，最后造成了這個笑話的產(chǎn)生。


    每一個等式，都是一個內(nèi)涵。
        比如下面這個等式展示了數(shù)學(xué)的簡單而美麗既深刻又豐富的內(nèi)涵：

（注：這個簡單的等式并非來自代數(shù)，在16~17世紀(jì)就被發(fā)現(xiàn)了（據(jù)說萊布尼茲（他不是最先發(fā)現(xiàn)該公式的人）因為發(fā)現(xiàn)這個公式，深感自然界的神秘，便決心從律師轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)家去從事數(shù)學(xué)研究了。）。但令人感到神秘和驚訝的是幾百年后人們發(fā)現(xiàn)它與 Q(√-1) 的類數(shù)為1有關(guān)，而后者屬于代數(shù)與整數(shù)的深處。）


    我們以高斯的一句名言結(jié)尾：“數(shù)學(xué)中重要的是概念而不是記號�！�












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