標(biāo)題:
關(guān)于雞兔同籠與二元一次方程的笑談——非常淺地談數(shù)學(xué)的內(nèi)涵
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作者:
51hei小名
時間:
2016-6-20 22:00
標(biāo)題:
關(guān)于雞兔同籠與二元一次方程的笑談——非常淺地談數(shù)學(xué)的內(nèi)涵
注:本文不適合有一定數(shù)學(xué)經(jīng)驗理解的人和數(shù)學(xué)專家閱讀。
關(guān)于雞兔同籠問題,有一個傳的很廣的笑話。原文照搬如下:
雞和兔15只,共有40只腳,雞和兔各幾只?算法:假設(shè)雞和兔訓(xùn)練有素,吹一聲哨,抬起一只腳,40-15=25。再吹哨,又抬起一只腳,25-15=10,這時雞都一屁股坐地上了,兔子還兩只腳立著。所以,兔子有10÷2=5只,雞有15-5=10只。這種算法,讓二元一次方程情何以堪!
說實話,我看了之后確實笑了,但不是因為這個笑話本身好笑,而是這個笑話,以及作出這個笑話的人對數(shù)學(xué)的認(rèn)識不夠。
在本文中,我將向您揭示這個笑話的數(shù)學(xué)實質(zhì),并由此簡要地、非常淺地談一下數(shù)學(xué)的內(nèi)涵,這包括代數(shù)與實際之間的聯(lián)系,以及數(shù)學(xué)是如何抽象生活中的概念的。最后,您將能知道如何將一個實際問題的代數(shù)解法轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋算術(shù)解法。
首先,讓我們來回顧一下這個問題的二元一次方程的解法。
設(shè)雞x只,兔y只,則x與y滿足如下方程:
x + y = 15 (1)
2x + 4y = 40 (2)
現(xiàn)在,我們?nèi)缦逻M(jìn)行:
將(2)式連續(xù)減去兩次(1)式
第一次減得到 x + 3y = 25
第二次減得到 2y = 10
故 y = 5。
因此 x = 15 - y = 10。
我想,有一定觀察能力的人已經(jīng)看出問題來了。是的,這兩個解法完全是一樣的,不僅如此,二元一次方程反而更加簡潔,無論是在運(yùn)算還是在思路上都更加簡單、清晰、容易接受。問題就出在很多人沒有真正理解在數(shù)學(xué)語言——數(shù)學(xué)是抽象的語言,它不代表具體事物,而是可以代表任何事物,甚至于數(shù)學(xué)本身!——如果我把雞和兔換成圓規(guī)和方桌呢?
二元一次方程哪里會“情何以堪”,他正在哈哈大笑呢!他會說:“笑的就是那些沒有真正理解我,反而嘲笑我的人。”
事實上,從代數(shù)的語言,我們還可以得到許多看起來是“完全不同的、更加奇思妙想”的解法。下面再擺這兩個方程:
x
+
y = 15 (1)
2x + 4y = 40 (2)
現(xiàn)在,我們用另外的方法解它:
將(2)式除以2
x + 2y = 20
將上式減去(1)
y = 5
由此得
x = 15 - y = 10
上面的解法不難變成如下“奇思妙想”的解法:
讓雞和兔各自抬起一半的腳,此時雞一只腳支地,兔兩只腳,因此兔數(shù)等于腳數(shù)減去頭數(shù),得5,故兔5只,雞15-5=10只。
下面再擺這兩個方程:
x
+
y = 15 (1)
2x + 4y = 40 (2)
現(xiàn)在,我們用另外的方法解它:
將從1中解出y
y = 15 - x
將上式代入(2)
2x + 4
×
(15 - x) = 40
(2 - 4)x + 4
×
15 = 40
(4 - 2)x = 4
×
15 - 40
x = (4×15 - 40)÷(4 - 2)
= 10
上面的解法不難變成如下“奇思妙想”的解法:
給每只雞或兔都戴一個“四腳帽”,“頭上面的腳”的總和就會比真正的腳多出兩倍雞的數(shù)量,因此減出雞10只,兔15-10=5只!
事實上,我們只不過是把題目
雞和兔15只,共有40只腳,雞和兔各幾只?
改成如下陳述:
雞 + 兔 = 15
2雞 + 4兔 = 40
而已,這個陳述顯然跟原題目沒有區(qū)別(等價)。而“雞”在這里完全可以抽象為“x”,因為我們關(guān)心的只是雞的個數(shù)而非實際的雞。
x
+ y
= 15
2x
+
4y = 40
對x和y的每一個操作,包括加一,乘二,除二,開方等等,都有其實際的內(nèi)涵在里面?上н@種對代數(shù)方程再簡單不過的理解,我們的教材不講,老師也不談,最后造成了這個笑話的產(chǎn)生。
每一個等式,都是一個內(nèi)涵。
比如下面這個等式展示了數(shù)學(xué)的簡單而美麗既深刻又豐富的內(nèi)涵:
(注:這個簡單的等式并非來自代數(shù),在16~17世紀(jì)就被發(fā)現(xiàn)了(據(jù)說萊布尼茲(他不是最先發(fā)現(xiàn)該公式的人)因為發(fā)現(xiàn)這個公式,深感自然界的神秘,便決心從律師轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)家去從事數(shù)學(xué)研究了。)。但令人感到神秘和驚訝的是幾百年后人們發(fā)現(xiàn)它與 Q(√-1) 的類數(shù)為1有關(guān),而后者屬于代數(shù)與整數(shù)的深處。)
我們以高斯的一句名言結(jié)尾:“數(shù)學(xué)中重要的是概念而不是記號!
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