炮灰模型---------- 對女生選擇追求者的數(shù)學(xué)模型的建立

Geng Quan, Department of Electronic Engineering, Tsinghua University

引言：

上周我的一個朋友第N 次向女生表白遭到拒絕，作為好朋友的我除了同情之外覺得應(yīng)該做點什么。之前一次聊天受到菠菜的啟發(fā)，加上出于對數(shù)學(xué)的興趣，我對女生“選擇與拒絕”的策略試著做了一個簡單的建模，并得出比較有意義的結(jié)論。

摘要：

         每一個女生都渴望找到自己心中的白馬王子，找到自己一生的幸福。但是面對追求者們，女生應(yīng)該是選擇還是拒絕，怎樣才能以最大的可能找到自己的Mr. Right 呢？在這篇文章中我們運用數(shù)學(xué)中概率論的知識對女生選擇追求者的這一過程進行數(shù)學(xué)建模，得到女生的選擇的最優(yōu)策略，最后對結(jié)果進行簡單的討論。

關(guān)鍵詞：

    炮灰模型 排列 選擇

模型假設(shè)：

眾所周知生活中涉及到感情的事情是很復(fù)雜的，把所有可能影響的因素都考慮到幾乎是不可能的。為此我們先對現(xiàn)實進行簡化，并做出一些合理的假設(shè)，考慮比較簡單的一種情況。

假設(shè)一個女生愿意在一段時間中和一位男生開始一段感情，并且在這段時間中有N 個男生追求這位女生。說明：這里的N 不是事先確定的，每個女生根據(jù)自身條件，并結(jié)合以往的經(jīng)歷和經(jīng)驗，猜測確定這個數(shù)字N 。比如其它各方面都相同的兩個女生，一般來說，PP 的女生就要比不PP 的女生N 值相對要大一些。在適合這個女生的意義上，假設(shè)追求者中任何兩個男生都是可以比較的，而且沒有相等的情況。這樣我們對這N 個男生從1 到N 進行編號，其中數(shù)字越大表示越適合這個女生。這樣在這段時間中，女生的Mr. Right 就是男生N 了。現(xiàn)在問題變成面對這N 個追求者應(yīng)該以怎樣的策略才能使得在第一次選擇接受的男生就是N 的可能性最大，注意到這N 個男生是以不同的先后順序來追求這位女生的。

為了將實際復(fù)雜的問題進行簡化，我們做出下面幾條合理的假設(shè)：

1、  N 個男生以不同的先后順序向女生表白，即在任一時刻不存在兩個或兩個以上的男

生向這位女生表白的情況的發(fā)生，而且任何一種順序都是完全等概率的。

2、  面對表白后的男生，女生只能做出接受和拒絕兩種選擇，不存在曖昧或者其它選擇。

3、  任一時刻，女生最多只能和一位男生談戀愛，不存在腳踏多船的情況。

4、  已經(jīng)被拒絕的男生不會再次追求這位女生。

基于上述假設(shè)，我們想要找到這樣一種策略，使得女生以最大的概率在第一次選擇接受

的那個男生就是N ，i.e. Mr. Right 。

先考慮最簡單的一種策略，如果一旦有男生向女生表白，女生就選擇接受。這種策略下顯然女生以1/N 的概率找到自己的Mr. Right 。當N 比較大的時候，這個概率就很小了，顯然這種策略不是最優(yōu)的。

基于上面這些假設(shè)和模型，我們提出這樣一種策略：對于最先表白的M 個人，無論女生感覺如何都選擇拒絕；以后遇到男生向女生表白的情況，只要這個男生的編號比前面M 個男生的編號都大，即這個男生比前面M 個男生更適合女生，那么女生選擇接受，否則選擇拒絕。

下面以N=3 為例說明：

三個男生追求女生，共有六種排列方式：

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

3 2 1

如果女生采用上述最簡單的策略，那么只有最后兩種排列方式選擇到Mr. Right ，概率為2/3!=1/3 。

如果女生采用上面我們提出的策略，這里我們?nèi)?span style="FONT-FAMILY: Calibri">M=1 ，即無論第一個人是否優(yōu)秀，女生都選擇拒絕。然后對于之后的追求者，只要他比第一個男生更適合女生就選擇接受，否則拒絕。 基于這種策略，“1 3 2 ”、“2 1 3 ”、“ 2 3 1 ”這三種排列順序下女生都會在第一次做出接受的選擇時遇到“3 ”，這樣我們就把這種概率增大到3/3!=1/2 。

現(xiàn)在我們的問題就歸結(jié)為，對于一般的N ，什么樣的M 才會使這種概率達到最大值呢？（在這種模型中，前面M 個男生就被稱為“炮灰”，無論他們有多么優(yōu)秀都要被拒絕）

模型建立：

在這一部分中，根據(jù)上面的模型假設(shè)，我們先找到對于給定的M 和N(1<M<N) ，女生選擇到Mr. Right 的概率的表達式。

1 到N 個數(shù)字進行排列共有N! 種 可能。當數(shù)字N 出現(xiàn)在第P 位置（M<P<=N ），如果使上述策略在第一次選擇接受時遇到的是N ，排列需要滿足下面兩個條件：

1、    N 在第P 位置

2、    從M+1 到P-1 位置的數(shù)字要比前M 位置的最大數(shù)字要小

運用數(shù)學(xué)中排列組合的知識，不難知道符合上面兩個條件的排列共有

這樣對于給定的M 和N ，P 可以從M+1 到N 變化，求和化簡后得到給定M 和N 共有

種序列符合要求。

由此得到女生選擇接受時遇到Mr. Right 的概率為

  。

模型求解：（不感興趣的話可以直接跳過這部分推導(dǎo)）

     這一部分中我們求解使這個表達式取得最大值時M 的值。

記函數(shù) ， 且設(shè)自變量取值為M 時，函數(shù)取得最大值。

因此：

所以M 應(yīng)滿足

我們知道，當x>0, In(1+x)< x  ;

          當x-->0, In(1+x) ~ x  。

所以由左不等式

所以：

當N 比較大時，同理由右不等式可得M ≈N/e ，  以上e 為自然對數(shù)。

若記[x] 為不大于x 的最大整數(shù)，由以上推導(dǎo)我們可猜測當M 取[N/e] 或[N/e]+1 時，該表達式取得最大值。

用MATLAB 仿真，上述結(jié)論正確。

結(jié)果分析：

由上述分析可以得到如下結(jié)論：為了使一個女生以最大的概率在第一次選擇接受男生時遇到的正是Mr. Right ，女生應(yīng)該采用以下的策略：

拒絕前M=[N/e] 或者[N/e]+1 個追求者，當其后的追求者比前M 個追求者更適合則接受，否則拒絕。

“打戰(zhàn)的時候，很多士兵身先士卒，跑到前線勇往直前。通常來說，走在最前面的，都會給大炮打中（古代的大炮像象個球一樣滾過來的）成為灰燼。而后來的士兵，就踏著炮灰走到勝利，所以成為別人利益的犧牲品的人就叫炮灰.�！�-------- 百度上關(guān)于炮灰的解釋

在本篇文章中介紹的“炮灰模型”中，前M個男生就成了炮灰的角色，無論其有多么優(yōu)秀，都會被拒絕。

朋友，如果你追求一個女生而遭到拒絕，看完這篇文章后你會突然發(fā)現(xiàn)，也許這不是你的的錯，也許你真的很優(yōu)秀，只是很不幸，你成了“炮灰”。

這幾天在校內(nèi)上看到很多朋友都因為拒絕或失戀而苦惱。希望上面這些看似復(fù)雜的推導(dǎo)和模型對你能有所啟發(fā)。不要因為一次的拒絕而傷心、失落，振作起來，你的Miss Right is waiting for you somewhere!

謹以此篇文章獻給所有為愛而戰(zhàn)的猛士們！

再由作者的理論小推論一下：
設(shè)女性最為燦爛的青春為18-28歲，在這段時間中將會遇到一生中幾乎全部的追求者（之前之后的忽略不計），且追求者均勻分布（ ），則女性從18+10/e=21.7即22歲左右開始接受追求……這告訴我們，想談戀愛找大四的……