1) 頻率采樣法
頻率采樣法是從頻域出發(fā)，將給定的理想頻率響應(yīng)Hd(ejw)加以等間隔采樣，得到
然后以此Hd(k)作為實際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的采樣值H(k),即令
由H(k)通過IDFT可得有限長序列h(n)為
將上式代入到Z變換中可得
式中， 為內(nèi)插函數(shù)，有
2) 頻率采樣法的優(yōu)化設(shè)計
為了提高阻帶的衰減，減小通帶的波動，可以采用頻率采樣的優(yōu)化設(shè)計法，即在間斷點區(qū)間內(nèi)插一個或幾個過渡帶采樣點。
過渡帶采樣點的個數(shù)m與濾波器阻帶最小衰減 的經(jīng)驗數(shù)據(jù)如下表所示，可以根據(jù)給定的阻帶最小衰減 來選擇過渡帶采樣點個數(shù)m。
增加過渡帶采樣點可以使通帶和阻帶內(nèi)波紋幅度減小。當N確定時，m越大，過渡帶越寬。如果給定過渡帶寬度 ，濾波器長度N必須滿足如下估算公式：
二、實驗步驟與結(jié)果
1、 認真閱讀并輸入實驗原理與方法中介紹的例子，觀察輸出數(shù)據(jù)和圖形，理解每一條語句的含義。
T=0.38;
datB=pi/16;wc=pi/3;
m=1;N=(m+1)*2*pi/datB+1;
N=N+mod((N+1),2);
Np=fix(wc/(2*pi/N));
Ns=N-2*Np-1;
Ak=[ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np)];
Ak(Np+2)=T;Ak(N-Np)=T;
thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N;
Hk=Ak.*exp(j*thetak);
hn=real(ifft(Hk));
Hw=fft(hn,1024);
wk=2*pi*[0:1023]/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2);
wa=[0:N-1]/N*2;
subplot(2,2,1),plot(wa,Ak);
axis([0,2,-0.1,1.2]);title('理想幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,2),plot(hn);
axis([0,65,-0.2,0.5]);title('理想單位脈沖響應(yīng)');
xlabel('n');ylabel('h(n)');
subplot(2,2,3),plot(wk/pi,abs(Hgw));
axis([0,2,-0.1,1.2]);title('實際幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,4),plot(wk/pi,20*log10(abs(Hgw)));
axis([0,1,-70,10]);title('實際損耗函數(shù)');
2、用頻率采樣法設(shè)計一個FIR數(shù)字低通濾波器，3dB截止頻率wp=0.4p，采樣點數(shù)分別取N=21和N=16，分別顯示理想、實際幅頻特性和脈沖響應(yīng)曲線，觀察采樣點數(shù)對濾波器特性的影響。
wc=0.4*pi;datB=4*pi/21;
m=1;N=(m+1)*2*pi/datB+1;
N=N+mod((N+1),2);
Np=fix(wc/(2*pi/N));
Ns=N-2*Np-1;
Ak=[ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np)];
thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N;
Hk=Ak.*exp(j*thetak);
hn=real(ifft(Hk));
Hw=fft(hn,1024);
wk=2*pi*[0:1023]/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2);
wa=[0:N-1]/N*2;
subplot(2,2,1),plot(wa,Ak);
axis([0,2,-0.1,1.2]);
title('理想幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,2),plot(hn);
axis([0,65,-0.2,0.5]);
title('理想單位脈沖響應(yīng)');
xlabel('n');
ylabel('h(n)');
subplot(2,2,3),plot(wk/pi,abs(Hgw));
axis([0,2,-0.1,1.2]);
title('實際幅頻響應(yīng)');
clear;
T=0.38;
wc=0.4*pi;
N=21;
Np=fix(wc/(2*pi/N));
Ns=N-2*Np-1;
Ak=[ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np)];
Ak(Np+2)=T;Ak(N-Np)=T;
thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N;
Hk=Ak.*exp(j*thetak);
hn=real(ifft(Hk));
Hw=fft(hn,1024);
wk=2*pi*[0:1023]/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2);
wa=[0:N-1]/N*2;
subplot(2,2,1),plot(wa,Ak);axis([0,2,-0.1,1.2]);title('理想幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,2),plot(hn);axis([0,N+2,-0.2,0.5]);
title('理想單位脈沖響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('h(n)');
subplot(2,2,3),plot(wk/pi,abs(Hgw));
axis([0,2,-0.1,1.2]);title('實際幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,4),plot(wk/pi,20*log10(abs(Hgw)));
axis([0,1,-70,10]);title('實際損耗函數(shù)');
wc=0.4*pi;datB=4*pi/61;
m=1;N=(m+1)*2*pi/datB+1;
N=N+mod((N+1),2);
Np=fix(wc/(2*pi/N));
Ns=N-2*Np-1;
Ak=[ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np)];
thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N;
Hk=Ak.*exp(j*thetak);
hn=real(ifft(Hk));
Hw=fft(hn,1024);
wk=2*pi*[0:1023]/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2);
wa=[0:N-1]/N*2;
subplot(2,2,1),plot(wa,Ak);
axis([0,2,-0.1,1.2]);
title('理想幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,2),plot(hn);
axis([0,65,-0.2,0.5]);
title('理想單位脈沖響應(yīng)');
xlabel('n');
ylabel('h(n)');
subplot(2,2,3),plot(wk/pi,abs(Hgw));
axis([0,2,-0.1,1.2]);
title('實際幅頻響應(yīng)');
3、在第(2)題的要求下。再在過渡帶中增加一個采樣點T，取值0.38.要求顯示幅頻特性曲線，觀察增加過渡帶采樣點后對濾波器特性的影響。
程序如下：
T=0.38;
wc=0.4*pi;
N=61;
Np=fix(wc/(2*pi/N));
Ns=N-2*Np-1;
Ak=[ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np)];
Ak(Np+2)=T;Ak(N-Np)=T;
thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N;
Hk=Ak.*exp(j*thetak);
hn=real(ifft(Hk));
Hw=fft(hn,1024);
wk=2*pi*[0:1023]/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2);
wa=[0:N-1]/N*2;
subplot(2,2,1),plot(wa,Ak);axis([0,2,-0.1,1.2]);title('理想幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,2),plot(hn);axis([0,N+2,-0.2,0.5]);
title('理想單位脈沖響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('h(n)');
subplot(2,2,3),plot(wk/pi,abs(Hgw));
1) 頻率采樣法
頻率采樣法是從頻域出發(fā)，將給定的理想頻率響應(yīng)Hd(ejw)加以等間隔采樣，得到
然后以此Hd(k)作為實際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的采樣值H(k),即令
由H(k)通過IDFT可得有限長序列h(n)為
將上式代入到Z變換中可得
式中， 為內(nèi)插函數(shù)，有
2) 頻率采樣法的優(yōu)化設(shè)計
為了提高阻帶的衰減，減小通帶的波動，可以采用頻率采樣的優(yōu)化設(shè)計法，即在間斷點區(qū)間內(nèi)插一個或幾個過渡帶采樣點。
過渡帶采樣點的個數(shù)m與濾波器阻帶最小衰減 的經(jīng)驗數(shù)據(jù)如下表所示，可以根據(jù)給定的阻帶最小衰減 來選擇過渡帶采樣點個數(shù)m。
增加過渡帶采樣點可以使通帶和阻帶內(nèi)波紋幅度減小。當N確定時，m越大，過渡帶越寬。如果給定過渡帶寬度 ，濾波器長度N必須滿足如下估算公式：
二、實驗步驟與結(jié)果
1、 認真閱讀并輸入實驗原理與方法中介紹的例子，觀察輸出數(shù)據(jù)和圖形，理解每一條語句的含義。
T=0.38;
datB=pi/16;wc=pi/3;
m=1;N=(m+1)*2*pi/datB+1;
N=N+mod((N+1),2);
Np=fix(wc/(2*pi/N));
Ns=N-2*Np-1;
Ak=[ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np)];
Ak(Np+2)=T;Ak(N-Np)=T;
thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N;
Hk=Ak.*exp(j*thetak);
hn=real(ifft(Hk));
Hw=fft(hn,1024);
wk=2*pi*[0:1023]/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2);
wa=[0:N-1]/N*2;
subplot(2,2,1),plot(wa,Ak);
axis([0,2,-0.1,1.2]);title('理想幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,2),plot(hn);
axis([0,65,-0.2,0.5]);title('理想單位脈沖響應(yīng)');
xlabel('n');ylabel('h(n)');
subplot(2,2,3),plot(wk/pi,abs(Hgw));
axis([0,2,-0.1,1.2]);title('實際幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,4),plot(wk/pi,20*log10(abs(Hgw)));
axis([0,1,-70,10]);title('實際損耗函數(shù)');
2、用頻率采樣法設(shè)計一個FIR數(shù)字低通濾波器，3dB截止頻率wp=0.4p，采樣點數(shù)分別取N=21和N=16，分別顯示理想、實際幅頻特性和脈沖響應(yīng)曲線，觀察采樣點數(shù)對濾波器特性的影響。
wc=0.4*pi;datB=4*pi/21;
m=1;N=(m+1)*2*pi/datB+1;
N=N+mod((N+1),2);
Np=fix(wc/(2*pi/N));
Ns=N-2*Np-1;
Ak=[ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np)];
thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N;
Hk=Ak.*exp(j*thetak);
hn=real(ifft(Hk));
Hw=fft(hn,1024);
wk=2*pi*[0:1023]/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2);
wa=[0:N-1]/N*2;
subplot(2,2,1),plot(wa,Ak);
axis([0,2,-0.1,1.2]);
title('理想幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,2),plot(hn);
axis([0,65,-0.2,0.5]);
title('理想單位脈沖響應(yīng)');
xlabel('n');
ylabel('h(n)');
subplot(2,2,3),plot(wk/pi,abs(Hgw));
axis([0,2,-0.1,1.2]);
title('實際幅頻響應(yīng)');
clear;
T=0.38;
wc=0.4*pi;
N=21;
Np=fix(wc/(2*pi/N));
Ns=N-2*Np-1;
Ak=[ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np)];
Ak(Np+2)=T;Ak(N-Np)=T;
thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N;
Hk=Ak.*exp(j*thetak);
hn=real(ifft(Hk));
Hw=fft(hn,1024);
wk=2*pi*[0:1023]/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2);
wa=[0:N-1]/N*2;
subplot(2,2,1),plot(wa,Ak);axis([0,2,-0.1,1.2]);title('理想幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,2),plot(hn);axis([0,N+2,-0.2,0.5]);
title('理想單位脈沖響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('h(n)');
subplot(2,2,3),plot(wk/pi,abs(Hgw));
axis([0,2,-0.1,1.2]);title('實際幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,4),plot(wk/pi,20*log10(abs(Hgw)));
axis([0,1,-70,10]);title('實際損耗函數(shù)');
wc=0.4*pi;datB=4*pi/61;
m=1;N=(m+1)*2*pi/datB+1;
N=N+mod((N+1),2);
Np=fix(wc/(2*pi/N));
Ns=N-2*Np-1;
Ak=[ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np)];
thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N;
Hk=Ak.*exp(j*thetak);
hn=real(ifft(Hk));
Hw=fft(hn,1024);
wk=2*pi*[0:1023]/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2);
wa=[0:N-1]/N*2;
subplot(2,2,1),plot(wa,Ak);
axis([0,2,-0.1,1.2]);
title('理想幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,2),plot(hn);
axis([0,65,-0.2,0.5]);
title('理想單位脈沖響應(yīng)');
xlabel('n');
ylabel('h(n)');
subplot(2,2,3),plot(wk/pi,abs(Hgw));
axis([0,2,-0.1,1.2]);
title('實際幅頻響應(yīng)');
3、在第(2)題的要求下。再在過渡帶中增加一個采樣點T，取值0.38.要求顯示幅頻特性曲線，觀察增加過渡帶采樣點后對濾波器特性的影響。
程序如下：
T=0.38;
wc=0.4*pi;
N=61;
Np=fix(wc/(2*pi/N));
Ns=N-2*Np-1;
Ak=[ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np)];
Ak(Np+2)=T;Ak(N-Np)=T;
thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N;
Hk=Ak.*exp(j*thetak);
hn=real(ifft(Hk));
Hw=fft(hn,1024);
wk=2*pi*[0:1023]/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2);
wa=[0:N-1]/N*2;
subplot(2,2,1),plot(wa,Ak);axis([0,2,-0.1,1.2]);title('理想幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,2),plot(hn);axis([0,N+2,-0.2,0.5]);
title('理想單位脈沖響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('h(n)');
subplot(2,2,3),plot(wk/pi,abs(Hgw));
axis([0,2,-0.1,1.2]);title('實際幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,4),plot(wk/pi,20*log10(abs(Hgw)));
axis([0,1,-70,10]);title('實際損耗函數(shù)');
三、 實驗分析總結(jié)
通過本次實驗，我對對頻率采樣法設(shè)計FIR 數(shù)字濾波器的基本原理的理解，掌握了在頻域優(yōu)化設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的方法，也了解MATLAB設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的編程方法。對相位FIR濾波器的扶貧特性和相頻特性更加熟悉，加深了我對窗函數(shù)法設(shè)計 FIR數(shù)字濾波器的基本原理的理解。了解 了MATLAB 有關(guān)窗函數(shù)法設(shè)計的子函數(shù)以及各種不同窗函數(shù)對濾波器性能的影響。
axis([0,2,-0.1,1.2]);title('實際幅頻響應(yīng)');
subplot(2,2,4),plot(wk/pi,20*log10(abs(Hgw)));
axis([0,1,-70,10]);title('實際損耗函數(shù)');
三、 實驗分析總結(jié)
通過本次實驗，我對對頻率采樣法設(shè)計FIR 數(shù)字濾波器的基本原理的理解，掌握了在頻域優(yōu)化設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的方法，也了解MATLAB設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的編程方法。對相位FIR濾波器的扶貧特性和相頻特性更加熟悉，加深了我對窗函數(shù)法設(shè)計 FIR數(shù)字濾波器的基本原理的理解。了解 了MATLAB 有關(guān)窗函數(shù)法設(shè)計的子函數(shù)以及各種不同窗函數(shù)對濾波器性能的影響。
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