大連市數(shù)學(xué)競賽大綱、試題及答案競賽資源下載

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中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽競賽大綱(初稿)

為了進(jìn)一步推動高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，激勵大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，更好地實(shí)現(xiàn)“中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽”的目標(biāo)，特制訂本大綱。

一、競賽的性質(zhì)和參賽對象
“中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽”的目的是：激勵大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步推動高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才。
“中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽”的參賽對象為大學(xué)本科二年級及二年級以上的在校大學(xué)生。

二、競賽的內(nèi)容
“中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽”分為數(shù)學(xué)專業(yè)類競賽題和非數(shù)學(xué)專業(yè)類競賽題。

（一）中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（數(shù)學(xué)專業(yè)類）競賽內(nèi)容為大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課的教學(xué)內(nèi)容，即，數(shù)學(xué)分析占50%，高等代數(shù)占35%，解析幾何占15%，具體內(nèi)容如下：
Ⅰ、數(shù)學(xué)分析部分
一、集合與函數(shù)
1. 實(shí)數(shù)集、有理數(shù)與無理數(shù)的稠密性，實(shí)數(shù)集的界與確界、確界存在性定理、閉區(qū)間套定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理.
2. 上的距離、鄰域、聚點(diǎn)、界點(diǎn)、邊界、開集、閉集、有界（無界）集、上的閉矩形套定理、聚點(diǎn)定理、有限復(fù)蓋定理、基本點(diǎn)列，以及上述概念和定理在上的推廣.
3. 函數(shù)、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數(shù)概念，反函數(shù)與逆變換，反函數(shù)存在性定理，初等函數(shù)以及與之相關(guān)的性質(zhì).
二、極限與連續(xù)
1. 數(shù)列極限、收斂數(shù)列的基本性質(zhì)（極限唯一性、有界性、保號性、不等式性質(zhì)）.
2. 數(shù)列收斂的條件（Cauchy準(zhǔn)則、迫斂性、單調(diào)有界原理、數(shù)列收斂與其子列收斂的關(guān)系），極限及其應(yīng)用.
3.一元函數(shù)極限的定義、函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性、局部有界性、保號性、不等式性質(zhì)、迫斂性），歸結(jié)原則和Cauchy收斂準(zhǔn)則，兩個重要極限及其應(yīng)用，計算一元函數(shù)極限的各種方法，無窮小量與無窮大量、階的比較，記號O與o的意義，多元函數(shù)重極限與累次極限概念、基本性質(zhì)，二元函數(shù)的二重極限與累次極限的關(guān)系.
4. 函數(shù)連續(xù)與間斷、一致連續(xù)性、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)（局部有界性、保號性），有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致連續(xù)性）.
三、一元函數(shù)微分學(xué)
1.導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的各種計算方法，微分及其幾何意義、可微與可導(dǎo)的關(guān)系、一階微分形式不變性.
2.微分學(xué)基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余項(xiàng)與Lagrange余項(xiàng)).
3.一元微分學(xué)的應(yīng)用：函數(shù)單調(diào)性的判別、極值、最大值和最小值、凸函數(shù)及其應(yīng)用、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線、函數(shù)圖象的討論、洛必達(dá)（L'Hospital）法則、近似計算.
四、多元函數(shù)微分學(xué)
1. 偏導(dǎo)數(shù)、全微分及其幾何意義，可微與偏導(dǎo)存在、連續(xù)之間的關(guān)系，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，高階偏導(dǎo)數(shù)，混合偏導(dǎo)數(shù)與順序無關(guān)性，二元函數(shù)中值定理與Taylor公式.
2.隱函數(shù)存在定理、隱函數(shù)組存在定理、隱函數(shù)（組）求導(dǎo)方法、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換.
3.幾何應(yīng)用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線）.
4.極值問題（必要條件與充分條件），條件極值與Lagrange乘數(shù)法.
五、一元函數(shù)積分學(xué)
1. 原函數(shù)與不定積分、不定積分的基本計算方法（直接積分法、換元法、分部積分法）、有理函數(shù)積分：型，型.
2. 定積分及其幾何意義、可積條件（必要條件、充要條件：）、可積函數(shù)類.
3. 定積分的性質(zhì)（關(guān)于區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)、絕對可積性、定積分第一中值定理）、變上限積分函數(shù)、微積分基本定理、N-L公式及定積分計算、定積分第二中值定理.
4.無限區(qū)間上的廣義積分、Canchy收斂準(zhǔn)則、絕對收斂與條件收斂、非負(fù)時的收斂性判別法（比較原則、柯西判別法）、Abel判別法、Dirichlet判別法、無界函數(shù)廣義積分概念及其收斂性判別法.
5. 微元法、幾何應(yīng)用（平面圖形面積、已知截面面積函數(shù)的體積、曲線弧長與弧微分、旋轉(zhuǎn)體體積），其他應(yīng)用.
六、多元函數(shù)積分學(xué)
1.二重積分及其幾何意義、二重積分的計算（化為累次積分、極坐標(biāo)變換、一般坐標(biāo)變換）.
2.三重積分、三重積分計算（化為累次積分、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)變換）.
3.重積分的應(yīng)用（體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量等）.
4.含參量正常積分及其連續(xù)性、可微性、可積性，運(yùn)算順序的可交換性.含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續(xù)性、可微性、可積性，運(yùn)算順序的可交換性.
5.第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質(zhì)、計算.
6.第二型曲線積分概念、性質(zhì)、計算；Green公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件.
7.曲面的側(cè)、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)、計算，奧高公式、Stoke公式，兩類線積分、兩類面積分之間的關(guān)系.

七、無窮級數(shù)

1. 數(shù)項(xiàng)級數(shù)
級數(shù)及其斂散性，級數(shù)的和，Cauchy準(zhǔn)則，收斂的必要條件，收斂級數(shù)基本性質(zhì)；正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件，比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的極限形式；交錯級數(shù)的Leibniz判別法；一般項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂、條件收斂性、Abel判別法、Dirichlet判別法.
2. 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)
函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性、Cauchy準(zhǔn)則、一致收斂性判別法（M-判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法）、一致收斂函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用.
3.冪級數(shù)
冪級數(shù)概念、Abel定理、收斂半徑與區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)的逐項(xiàng)可積性、可微性及其應(yīng)用，冪級數(shù)各項(xiàng)系數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的冪級數(shù)展開、Taylor級數(shù)、Maclaurin級數(shù).
4.Fourier級數(shù)

三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、2及2周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開、Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函數(shù)的Fourier級數(shù)的收斂性定理.

Ⅱ、高等代數(shù)部分

一、 多項(xiàng)式

1. 數(shù)域與一元多項(xiàng)式的概念

2. 多項(xiàng)式整除、帶余除法、最大公因式、輾轉(zhuǎn)相除法

3. 互素、不可約多項(xiàng)式、重因式與重根.

4. 多項(xiàng)式函數(shù)、余數(shù)定理、多項(xiàng)式的根及性質(zhì).

5. 代數(shù)基本定理、復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解.

6. 本原多項(xiàng)式、Gauss引理、有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解、Eisenstein判別法、有理數(shù)域上多項(xiàng)式的有理根.

7. 多元多項(xiàng)式及對稱多項(xiàng)式、韋達(dá)(Vieta)定理.

二、 行列式

1. n級行列式的定義.

2. n級行列式的性質(zhì).

3. 行列式的計算.

4. 行列式按一行（列）展開.

5. 拉普拉斯(Laplace)展開定理.

6. 克拉默(Cramer)法則.

三、 線性方程組

1. 高斯(Gauss)消元法、線性方程組的初等變換、線性方程組的一般解.

2. n維向量的運(yùn)算與向量組.

3. 向量的線性組合、線性相關(guān)與線性無關(guān)、兩個向量組的等價.

4. 向量組的極大無關(guān)組、向量組的秩.

5. 矩陣的行秩、列秩、秩、矩陣的秩與其子式的關(guān)系.

6. 線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結(jié)構(gòu).

7. 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、解空間及其維數(shù)

四、　矩陣

1. 矩陣的概念、矩陣的運(yùn)算(加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算)及其運(yùn)算律.

2. 矩陣乘積的行列式、矩陣乘積的秩與其因子的秩的關(guān)系.

3. 矩陣的逆、伴隨矩陣、矩陣可逆的條件.

4. 分塊矩陣及其運(yùn)算與性質(zhì).

5. 初等矩陣、初等變換、矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形.

6. 分塊初等矩陣、分塊初等變換.

五、 雙線性函數(shù)與二次型

1. 雙線性函數(shù)、對偶空間

2. 二次型及其矩陣表示.

3. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的配方法、初等變換法、正交變換法.

4. 復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形的唯一性、慣性定理.

5. 正定、半正定、負(fù)定二次型及正定、半正定矩陣

六、線性空間

1. 線性空間的定義與簡單性質(zhì).

2. 維數(shù)，基與坐標(biāo).

3. 基變換與坐標(biāo)變換.

4. 線性子空間.

5. 子空間的交與和、維數(shù)公式、子空間的直和.

七、線性變換

1. 線性變換的定義、線性變換的運(yùn)算、線性變換的矩陣.

2. 特征值與特征向量、可對角化的線性變換.

3. 相似矩陣、相似不變量、哈密爾頓-凱萊定理.

4. 線性變換的值域與核、不變子空間.

八、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形

1.矩陣.

2. 行列式因子、不變因子、初等因子、矩陣相似的條件.

3. 若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.

九、歐氏空間

1. 內(nèi)積和歐氏空間、向量的長度、夾角與正交、度量矩陣.

2. 標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交矩陣、施密特(Schmidt)正交化方法.

3. 歐氏空間的同構(gòu).

4. 正交變換、子空間的正交補(bǔ).

5. 對稱變換、實(shí)對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形.

6. 主軸定理、用正交變換化實(shí)二次型或?qū)崒ΨQ矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形.

7. 酉空間.

Ⅲ、解析幾何部分
一、向量與坐標(biāo)
1. 向量的定義、表示、向量的線性運(yùn)算、向量的分解、幾何運(yùn)算.
2. 坐標(biāo)系的概念、向量與點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的代數(shù)運(yùn)算.
3. 向量在軸上的射影及其性質(zhì)、方向余弦、向量的夾角.
4. 向量的數(shù)量積、向量積和混合積的定義、幾何意義、運(yùn)算性質(zhì)、計算方法及應(yīng)用.
5. 應(yīng)用向量求解一些幾何、三角問題.
二、軌跡與方程
1.曲面方程的定義：普通方程、參數(shù)方程(向量式與坐標(biāo)式之間的互化)及其關(guān)系.
2.空間曲線方程的普通形式和參數(shù)方程形式及其關(guān)系.
3.建立空間曲面和曲線方程的一般方法、應(yīng)用向量建立簡單曲面、曲線的方程.
4.球面的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程.
三、平面與空間直線
1.平面方程、直線方程的各種形式，方程中各有關(guān)字母的意義.
2.從決定平面和直線的幾何條件出發(fā)，選用適當(dāng)方法建立平面、直線方程.
3.根據(jù)平面和直線的方程，判定平面與平面、直線與直線、平面與直線間的位置關(guān)系.
4. 根據(jù)平面和直線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)判定有關(guān)點(diǎn)、平面、直線之間的位置關(guān)系、計算他們之間的距離與交角等；求兩異面直線的公垂線方程.
四、二次曲面
1.柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的定義，求柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的方程.
2.橢球面、雙曲面與拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程和主要性質(zhì)，根據(jù)不同條件建立二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程.
3.單葉雙曲面、雙曲拋物面的直紋性及求單葉雙曲面、雙曲拋物面的直母線的方法.
4.根據(jù)給定直線族求出它表示的直紋面方程，求動直線和動曲線的軌跡問題.
五、二次曲線的一般理論
1.二次曲線的漸進(jìn)方向、中心、漸近線.
2.二次曲線的切線、二次曲線的正常點(diǎn)與奇異點(diǎn).
3.二次曲線的直徑、共軛方向與共軛直徑.
4.二次曲線的主軸、主方向，特征方程、特征根.
5.化簡二次曲線方程并畫出曲線在坐標(biāo)系的位置草圖.

（二）中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（非數(shù)學(xué)專業(yè)類）競賽內(nèi)容為大學(xué)本科理工科專業(yè)高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容，具體內(nèi)容如下：
一、函數(shù)、極限、連續(xù)

1．函數(shù)的概念及表示法、簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系的建立.

2．函數(shù)的性質(zhì)：有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.

3．復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形、初等函數(shù).

4．?dāng)?shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)、函數(shù)的左極限與右極限.

5．無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系、無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較.

6．極限的四則運(yùn)算、極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則、兩個重要極限.

7．函數(shù)的連續(xù)性（含左連續(xù)與右連續(xù)）、函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.

8．連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性.

9．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).

二、一元函數(shù)微分學(xué)
1. 導(dǎo)數(shù)和微分的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系、平面曲線的切線和法線.
2. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算、一階微分形式的不變性.
3. 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法.
4. 高階導(dǎo)數(shù)的概念、分段函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).
5. 微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.
6. 洛必達(dá)(L’Hospital)法則與求未定式極限.
7. 函數(shù)的極值、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線(水平、鉛直和斜漸近線)、函數(shù)圖形的描繪.
8. 函數(shù)最大值和最小值及其簡單應(yīng)用.
9. 弧微分、曲率、曲率半徑.
三、一元函數(shù)積分學(xué)

1. 原函數(shù)和不定積分的概念.

2. 不定積分的基本性質(zhì)、基本積分公式.

3. 定積分的概念和基本性質(zhì)、定積分中值定理、變上限定積分確定的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式.

4. 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法.

5. 有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分.

6. 廣義積分.

7. 定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力及函數(shù)的平均值．

四.常微分方程

1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等.

2. 變量可分離的微分方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.

3. 可用簡單的變量代換求解的某些微分方程、可降階的高階微分方程： .

4. 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理.

5. 二階常系數(shù)齊次線性微分方程、高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程.

6. 簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積

7. 歐拉(Euler)方程.

8. 微分方程的簡單應(yīng)用

五、向量代數(shù)和空間解析幾何

1. 向量的概念、向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積和向量積、向量的混合積.

2. 兩向量垂直、平行的條件、兩向量的夾角.

3. 向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算、單位向量、方向數(shù)與方向余弦.

4. 曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程.

5. 平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件、點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離.

6. 球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程、常用的二次曲面方程及其圖形.

7. 空間曲線的參數(shù)方程和一般方程、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程.

六、多元函數(shù)微分學(xué)

1. 多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義.

2. 二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念、有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

3. 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件.

4. 多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法.

5. 二階偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度.

6. 空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線.

7. 二元函數(shù)的二階泰勒公式.

8. 多元函數(shù)極值和條件極值、拉格朗日乘數(shù)法、多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用.

七、多元函數(shù)積分學(xué)　

1. 二重積分和三重積分的概念及性質(zhì)、二重積分的計算(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))、三重積分的計算(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)).

2. 兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計算、兩類曲線積分的關(guān)系.

3. 格林(Green)公式、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件、已知二元函數(shù)全微分求原函數(shù).

4. 兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算、兩類曲面積分的關(guān)系.

5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及計算.

6. 重積分、曲線積分和曲面積分的應(yīng)用(平面圖形的面積、立體圖形的體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功及流量等)

八、無窮級數(shù)

1. 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和、級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件.

2. 幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性、正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別法、交錯級數(shù)與萊布尼茨(Leibniz)判別法.

3. 任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂.

4. 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念.

5. 冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）、收斂域與和函數(shù).

6. 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)、簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法.

7. 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.

8. 函數(shù)的傅里葉(Fourier)系數(shù)與傅里葉級數(shù)、狄利克雷(Dirichlei)定理、函數(shù)在[-l，l]上的傅里葉級數(shù)、函數(shù)在[0,l]上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù)

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