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低通無源濾波器仿真與分析 一、濾波器定義 所謂濾波器（filter），是一種用來消除干擾雜訊的器件，對(duì)輸入或輸出的信號(hào)中特定頻率的頻點(diǎn)或該頻點(diǎn)以外的頻率進(jìn)行有效濾除的電路，就是濾波器，其功能就是得到一個(gè)特定頻率或消除一個(gè)特定頻率。一般可實(shí)為一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的線性時(shí)不變系統(tǒng)。 二、濾波器的分類 常用的濾波器按以下類型進(jìn)行分類。 按所處理的信號(hào)分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器兩種。 按所通過信號(hào)的頻段分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器四種。 低通濾波器：它允許信號(hào)中的低頻或直流分量通過，抑制高頻分量或干擾和噪聲。 高通濾波器：它允許信號(hào)中的高頻分量通過，抑制低頻或直流分量�！ � 帶通濾波器：它允許一定頻段的信號(hào)通過，抑制低于或高于該頻段的信號(hào)、干擾和噪聲�！ � 帶阻濾波器：它抑制一定頻段內(nèi)的信號(hào)，允許該頻段以外的信號(hào)通過。 按所采用的元器件分為無源和有源濾波器兩種�！ � 無源濾波器： 僅由無源元件(R、L 和C)組成的濾波器，它是利用電容和電感元件的電抗隨頻率的變化而變化的原理構(gòu)成的。這類濾波器的優(yōu)點(diǎn)是：電路比較簡(jiǎn)單，不需要直流電源供電，可靠性高；缺點(diǎn)是：通帶內(nèi)的信號(hào)有能量損耗，負(fù)載效應(yīng)比較明顯，使用電感元件時(shí)容易引起電磁感應(yīng)，當(dāng)電感L較大時(shí)濾波器的體積和重量都比較大，在低頻域不適用。 有源濾波器：由無源元件(一般用R和C)和有源器件(如集成運(yùn)算放大器）組成。這類濾波器的優(yōu)點(diǎn)是：通帶內(nèi)的信號(hào)不僅沒有能量損耗，而且還可以放大，負(fù)載效應(yīng)不明顯，多級(jí)相聯(lián)時(shí)相互影響很小，利用級(jí)聯(lián)的簡(jiǎn)單方法很容易構(gòu)成高階濾波器，并且濾波器的體積小、重量輕、不需要磁屏蔽(由于不使用電感元件）；缺點(diǎn)是：通帶范圍受有源器件(如集成運(yùn)算放大器）的帶寬限制，需要直流電源供電，可靠性不如無源濾波器高，在高壓、高頻、大功率的場(chǎng)合不適用。 通過傳遞函數(shù)的階數(shù)來確定濾波器的分類。 在時(shí)域中，設(shè)輸入為 ，輸出為 ，濾波器的脈沖響應(yīng)函數(shù)為 。轉(zhuǎn)換到頻域，激勵(lì)信號(hào)為 ，經(jīng)過一個(gè)線性網(wǎng)絡(luò)得到的響應(yīng)信號(hào)為 。 則傳遞函數(shù) 其中，傳遞函數(shù)的極點(diǎn)是網(wǎng)絡(luò)的固有頻率。而一個(gè)傳遞函數(shù)所有極點(diǎn)的實(shí)部均為負(fù)的網(wǎng)絡(luò)是穩(wěn)定的。 一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)蘊(yùn)含了網(wǎng)絡(luò)的全部屬性。  幅頻特性和相頻特性
 幅度增益 與ω 構(gòu)成幅頻特性曲線。相位變化 與ω 構(gòu)成相頻特性曲線。 1、單位 分貝：是用對(duì)數(shù)的方式描述相對(duì)值，無量綱。 B 貝爾 （A/B）(貝爾)=lg（A/B）=lg(A)-lg(B)  dB 分貝 （A/B）(分貝)=10 1g（A/B）對(duì)于幅頻響應(yīng)， 
其中3dB ：功率為2倍（10*1g2=3.01），電壓或電流為1.414倍。2、低通濾波器英文名稱：low-pass filter 簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)PF。 低通濾波器是讓某一頻率以下的信號(hào)分量通過，而對(duì)該頻率以上的信號(hào)分量大大抑制的電容、電感與電阻等器件的組合裝置。 理想低通濾波器能夠讓直流一直到截止頻率為 的所有信號(hào)都沒有任何損失的通過。讓高于截止頻率的所有信號(hào)全部喪失. 3、描述濾波器性能的基本參數(shù)：
1.截止頻率
若濾波器在通頻帶內(nèi)的增益為K，則當(dāng)其增益下降到 (即下降了3dB)時(shí)所對(duì)應(yīng)的
頻率被稱為截止頻率。
2.帶寬B
對(duì)于低通或帶通濾波器，帶寬是指其通頻帶寬度，對(duì)于高通或帶阻濾波器，帶寬是指其阻帶寬度。帶寬決定著濾波器分離信號(hào)中相鄰頻率成分的能力。
3.品質(zhì)因數(shù)Q
Q定義為帶通或帶阻濾波器的中心頻率fc與帶寬B之比，即
品質(zhì)因數(shù)Q的大小反映了濾波器頻率選擇能力的高低。
4.倍頻程選擇性
是指在f02與2f02之間，或在f01與f01/2之間，幅頻特性的衰減值，即頻率變化一個(gè)倍頻程時(shí)幅頻特性的衰減量，用dB表示，它反映了濾波器對(duì)通頻帶以外的頻率成分的衰減能力。 4、低通濾波器的幅頻特性  被稱為截止頻率，是功率為最大值一半的點(diǎn)，也是帶寬下降3dB的點(diǎn)。 5、濾波器作用： 下圖是對(duì)濾波器作用的說明。由0.7KHz和17KHz的兩個(gè)正弦波所合成的信號(hào)，經(jīng)過只允許頻率低于1KHz的信號(hào)通過的RC濾波器之后，輸出端只能檢測(cè)到0.7KHz的正弦波信號(hào)。 
通過Multisim對(duì)濾波器作用的仿真如下 如圖所示，紅色波形為輸入信號(hào)的波形，它是兩個(gè)信號(hào)的疊加。經(jīng)過濾波后得到的藍(lán)色波形是低頻的波形，因?yàn)殡娮璺謮旱年P(guān)系，得到的信號(hào)波形不是十分理想，放大以后可以看到波形不是很光滑，是因?yàn)槭艿角岸穗娮璧挠绊�，得到的幅度也比輸入波形小很多，但卻是一個(gè)0.7kHz的正弦信號(hào)。因此通過模擬仍反映出了此濾波器的低通特性。 五、低通濾波器設(shè)計(jì)  電容的阻抗以及頻率響應(yīng)特征ω→0， →∞ 低頻下相當(dāng)于斷路 ω→∞，→0 高頻下相當(dāng)于短路  電感的阻抗以及頻率相應(yīng)特征ω→0，→0 低頻下相當(dāng)于短路 ω→∞，→∞ 高頻下相當(dāng)于斷路 極點(diǎn) ，當(dāng)RC>0時(shí)電路穩(wěn)定。 5.1一階RC低通濾波器 
頻率響應(yīng)幅頻特性： ； 相頻特性： ； 式中為ω輸入信號(hào)的角頻率，令τ=RC為回路的時(shí)間常數(shù)，則有  ， 為截止頻率。
通過Multisim進(jìn)行模擬得到截止頻率為1K Hz的RC濾波器幅頻和相頻特性曲線，τ=RC=0.1592ms，只需要RC的乘積為此值既可。取R=1KΩ，C=0.15μ設(shè)計(jì)出濾波器電路，進(jìn)行模擬。 
得到的頻譜圖和相位圖如圖所示�？梢钥吹皆�-3dB的截止點(diǎn)，頻率為1kHz所以滿足設(shè)計(jì)要求。在相位圖上可以看到該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度為45°。總結(jié)：適當(dāng)改變電路中R或C的取值，可改變截止頻率。設(shè)計(jì)低通濾波器時(shí)，應(yīng)使截止頻率大于有用信號(hào)的頻率。 根據(jù)截止頻率，算出時(shí)間常數(shù)τ=RC的值，然后根據(jù)需要選取所需的電阻與電感既可。不過RC濾波器在較低的信號(hào)源阻抗和較高的負(fù)載阻抗下才比較好的效果。 5.2二階RC低通濾波器 采用1階無源RC濾波器覺得不夠滿意地方可以采用RC濾波器簡(jiǎn)單地多級(jí)連接的方法。但需要較低的信號(hào)源阻抗和較高的負(fù)載阻抗。 在RC 濾波器多級(jí)連接時(shí)，如果各級(jí)都采用相同的R、C值，由于相互之間存在阻抗的影響，在截止頻率附近會(huì)使截止頻率下滑。改進(jìn)的方式是采取從低阻抗到高阻抗的順序排列。 典型的二階RC低通濾波電路如下 
可以求得截止角頻率 ，截止頻率 通過Multisim進(jìn)行模擬得到截止頻率為1K Hz的RC濾波器幅頻和相頻特性 τ=59.58μs。取R=10kΩ,Ｃ≈6nF.仿真曲線如下   總結(jié)：在-3dB時(shí)的截止頻率為1kHz滿足設(shè)計(jì)要求，同時(shí)可以看到，由于階數(shù)的增加，相位的變化范圍也增加。在中間點(diǎn)的相位為90度。由于只需要使τ=RC滿足特定值，因此有無數(shù)的設(shè)計(jì)方案。但是為了防止截止頻率下滑，特別是在設(shè)計(jì)2階以上的RC低通網(wǎng)絡(luò)時(shí)最好按照阻抗從小到大排列，這樣會(huì)得到更好的衰減效果。5.3LC低通濾波器 LC濾波器能夠使用的頻率范圍非常寬，從幾十赫茲到集總參數(shù)的極限——300MHz。在低頻范圍，LC濾波器價(jià)格較高。但當(dāng)截止頻率提高到10kHz以上時(shí)，LC濾波器在體積、價(jià)格等方面有突出優(yōu)勢(shì)。 影響LC濾波器的主要障礙是線圈和電容器的參數(shù)，即標(biāo)準(zhǔn)元件不一定能滿足自己制作的要求。 實(shí)際的LC低通濾波器不可能達(dá)到理中的特性，因此實(shí)際中低通濾波器的設(shè)計(jì)都是根據(jù)某個(gè)函數(shù)形式來設(shè)計(jì)的。所以又稱為函數(shù)型濾波器。常見的濾波器有巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波器、貝塞爾型、高斯型、逆切比雪夫型等等。這些函數(shù)所決定的實(shí)際濾波器各有其突出的特點(diǎn)，有的衰減特性在截止區(qū)很陡峭，有的相位特性（延時(shí)特性）較為規(guī)律，在實(shí)際中可以根據(jù)需要來選用。 一些典型函數(shù)型濾波器的特性如下： 巴特沃斯濾波器——通帶內(nèi)響應(yīng)最為平坦 切比雪夫?yàn)V波器——截止特性特別好；群延時(shí)特性不太好；通帶內(nèi)有等波紋起伏。 橢圓函數(shù)型——通帶內(nèi)有起伏，阻帶內(nèi)有零點(diǎn)。截止特性比其他濾波器都好。 在設(shè)計(jì)LC低通濾波器時(shí)，根據(jù)設(shè)計(jì)目的選擇需要的濾波器特性（巴特沃斯、切比雪夫等），并根據(jù)必要是衰減量確定階數(shù)，那么可以預(yù)先準(zhǔn)備好的歸一化表簡(jiǎn)單地計(jì)算出元素的數(shù)值。 一階巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì) 根據(jù)歸一化LPF來設(shè)計(jì)巴特沃斯型低通濾波器，指的是特征阻抗為1Ω且截止頻率為1/(2π)的低通濾波器的數(shù)據(jù)。用這種歸一化低通濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)作為基準(zhǔn)濾波器，按照下面的設(shè)計(jì)步驟，就能夠簡(jiǎn)單的計(jì)算出具有任何截止頻率和任何特征阻抗的低通濾波器。 2階歸一化巴特沃斯型LPF 截止頻率1/（2π）Hz,特征阻抗1Ω 
首先選擇歸一化低通濾波器數(shù)據(jù)，其次根據(jù)需要進(jìn)行截止頻率變換，最后進(jìn)行特征阻抗變換。濾波器的截止頻率的變換是通過先求出待設(shè)計(jì)濾波器的截止頻率與基準(zhǔn)濾波器頻率的比值M，在用這個(gè)M去除濾波器中的所有元件來實(shí)現(xiàn)的。  ； 濾波器的特征阻抗的變換是通過先求出待設(shè)計(jì)濾波器的特征阻抗與基準(zhǔn)濾波器特征阻抗的比值K，在用這個(gè)K去乘基準(zhǔn)濾波器中的所有電感元件和用K去除濾波器中的所有電容元件來實(shí)現(xiàn)的。  ； 如，欲設(shè)計(jì)一特征阻抗為50Ω且截止頻率為300kHz的2階巴特沃斯型LPF，則根據(jù)前面的步驟先求M 截止頻率變換 阻抗變換 最終變換結(jié)果如圖所示 
其仿真結(jié)果如下所示 
可以看到在-3dB點(diǎn)的頻率下降約為330kHZ，基本滿足設(shè)計(jì)要求。二階LC低通濾波網(wǎng)絡(luò)模型 
多階LC濾波器的構(gòu)成有π型和T型兩種。無論怎么連接都可以得到相同的特性，T型的特點(diǎn)是在阻值頻率下的輸入阻抗大，而π型的特點(diǎn)是輸入阻抗小。 二階LC低通濾波網(wǎng)絡(luò)模型分析：此網(wǎng)絡(luò)可以歸結(jié)為一帶初始條件的二階微分方程  ； 對(duì)方程做拉普拉斯變換 得到傳遞函數(shù)；令S=jω Q稱為網(wǎng)絡(luò)的品質(zhì)因數(shù)。通過對(duì)不同品質(zhì)因數(shù)Q的二階LC低通濾波器進(jìn)行模擬得到幅頻和相頻特性曲線如下 
由仿真曲線知道，當(dāng) 時(shí)，Q值越小，低頻端輸出信號(hào)幅度越不穩(wěn)定，同一輸入信號(hào)頻率下， 輸出信號(hào)的幅度越小，且輸出信號(hào)的相移比較大。  時(shí)，輸出端沒有穩(wěn)定的幅頻特性，在信號(hào)源頻率等于LC諧振頻率時(shí)，電路具有諧振性，雖然信號(hào)相移不大，但幅度不穩(wěn)定。  時(shí)，電路具有最佳的通帶特性，綜合考慮其相頻特性，在工程應(yīng)用中設(shè)計(jì)LC二階低通濾波網(wǎng)絡(luò)參數(shù)時(shí)，應(yīng)使濾波器品質(zhì)因數(shù) 總結(jié)：2階或以上LC濾波電路的設(shè)計(jì)比較復(fù)雜，其N階的網(wǎng)絡(luò)模型相當(dāng)于N階的微分方程。設(shè)計(jì)時(shí)要根據(jù)性能選取適合的函數(shù)模型，并進(jìn)行逼近，得到符合實(shí)際元件參數(shù)的結(jié)果，同時(shí)要使濾波器品質(zhì)因數(shù)。
心得體會(huì)通過做本次報(bào)告，學(xué)會(huì)了進(jìn)行Multisim仿真的一般方法，同時(shí)對(duì)MATLAB仿真計(jì)算的效果有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。初步掌握一階和二階RC、LC低通濾波器的設(shè)計(jì)方法，具有很大的收獲。
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時(shí)，振幅
=-3dB
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