那些看起來不可思議的數(shù)學(xué)知識，你知道幾個？

ID:206590 · 發(fā)表于 2018-6-6 17:53

數(shù)學(xué)中有哪些看起來很不可思議的知識？

先來看個公式吧，這個盡管不難證明，但是還蠻有趣的~

一.平面幾何篇

1.（i）九點(diǎn)圓定理：三角形三邊的中點(diǎn)，三條高的垂足，垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)這九點(diǎn)共圓。（九點(diǎn)圓又稱歐拉圓、費(fèi)爾巴哈圓）

（ii）費(fèi)爾巴哈定理：三角形的九點(diǎn)圓與其內(nèi)切圓以及三個旁切圓相切。

（iii）庫里奇-大上定理：九點(diǎn)圓的圓周上（任意取定）四點(diǎn)中任取三點(diǎn)做三角形，所有這四個三角形的九點(diǎn)圓圓心共圓。

2.西姆松（Simson）定理：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長線上的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）

3.蝴蝶定理：設(shè)M為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn)，過M作弦AB和CD。設(shè)AD和BC各相交PQ于點(diǎn)X和Y，則M是XY的中點(diǎn)。（配個圖啦啦啦~）

4.君知物理學(xué)中有家喻戶曉的牛頓三大定律，殊不知平面幾何中也有牛頓三大定理（別鬧，當(dāng)然是同一個牛頓），想當(dāng)年剛知道時簡直膜拜~

牛頓定理1：完全四邊形三條對角線中點(diǎn)共線。

牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線。推廣：和完全四邊形四邊相切的有心圓錐曲線的心的軌跡是一條直線,是完全四邊形三條對角線中點(diǎn)所共的線。

牛頓定理3：圓的外切四邊形的對角線的交點(diǎn)和以切點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對角線交點(diǎn)重合。（四線共點(diǎn)）

5.帕斯卡（Pascal）定理：圓錐曲線內(nèi)接六邊形其三對邊的交點(diǎn)共線，與布列安桑定理對偶，是帕普斯定理的推廣。（至于后面兩個是什么，戳進(jìn)去看就好了，當(dāng)年也只是知道是什么并沒有用過~）

6.根心定理：三個兩兩不同心的圓，形成三條根軸，則要么三根軸兩兩平行，要么三根軸完全重合，否則三根軸兩兩相交，即此時三根軸必交于一點(diǎn)（三線共點(diǎn)），該點(diǎn)稱為三圓的根心。（根軸是對兩圓等冪的點(diǎn)集，是一條垂直于連心線的直線，特殊情形：若兩圓相交，則根軸就是連接二公共點(diǎn)的直線；若兩圓相切，則根軸就是過切點(diǎn)的公切線；）

7.五點(diǎn)共圓：（具體追根溯源請搜索密克（Miquel）定理）（不會證的孩紙還是先不要膜了，趕緊多讀書，不然還是naive~~）

2000年12月20日，參觀濠江中學(xué)時向該校師生出了一道求證“五點(diǎn)共圓”的平面幾何題：“假設(shè)：任意一個星形，五個三角形，外接圓交于五點(diǎn)。求證：這五點(diǎn)共圓�！�

這道平面幾何題用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表述是這樣的：在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圓順次相交的交點(diǎn)分別為K、O、N、M、L。求證：K、O、N、M、L五點(diǎn)共圓。（確實(shí)很神奇~~）

8.雞爪定理（我也想知道有沒有好聽一點(diǎn)的名字啊親~）：設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，∠A內(nèi)的旁心為J，AI的延長線交三角形外接圓于K，則KI=KJ=KB=KC。（注意紅線的形狀）

9.拿破侖（Napoléon）定理（據(jù)說是行軍打仗時證明的，也是厲害）：向任何三角形三邊分別向外側(cè)作等邊三角形，然后把這三個正三角形的中心連結(jié)起來所構(gòu)成的三角形一定是等邊三角形。

這一定理可以等價描述為：若以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為60°的等腰三角形，則它們的中心構(gòu)成一個等邊三角形。

一些引申：

1）四邊形上，類似的定理為凡·奧貝爾定理。

2）拿破侖定理本身為佩特諾-伊曼-道格拉斯定理的特例。

3）內(nèi)拿破侖三角形的面積大于等于 0 給出外森比克不等式。

10.莫利（Morley）定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個交點(diǎn)，則這樣的三個交點(diǎn)可以構(gòu)成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。

（題外話：聽高中同學(xué)說，某老師在外邊上課給純良的男孩紙們講：跟喜歡的女孩紙說隨便畫一個三角形，如果它的角三分線交點(diǎn)恰好是正三角形，就證明對她的愛是真心的。我向那個高中同學(xué)當(dāng)即表示，這就是紅果果的欺騙啊~現(xiàn)在終于明白為什么自己還在汪汪汪了~~~）

11.歐拉線定理：任意三角形的外心、重心、垂心、九點(diǎn)圓圓心，依次位于同一直線上。（這條直線就叫三角形的歐拉線，且外心到重心的距離等于垂心到重心距離的一半）

12.沢山定理：圓P與圓O的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC、BD切于E、F，同時與圓O相切，則E、F與△ABD、△ACD的內(nèi)心I、I'共線（四點(diǎn)共線）。

二.初等代數(shù)篇

1.歐拉公式：（出于對歐拉大神的無比景仰崇拜以及對這個公式特有的贊賞，答主一定要把它先放出來，不過對大家來講也許太熟悉了~）

，由此有一個經(jīng)常被稱作所謂“上帝公式”的恒等式（得名源于將五個基本常數(shù)匯聚一堂）：

2.（i）對于任意的自然數(shù)n，

的值都是一個正整數(shù)。

（ii）對于任意的自然數(shù)n，

能被

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2018-6-7 02:29 上傳

整除。

三.組合數(shù)學(xué)篇

1.對于簡單多面體。設(shè)V為頂點(diǎn)數(shù)，E為棱數(shù)，F(xiàn)是面數(shù)，則

。

對任意的平面圖，歐拉公式可以推廣為：

，其中C為圖中連通分支數(shù)。

對非平面圖，歐拉公式可以推廣為：如果一個圖可以被嵌入一個流形M，則：

，

是此流形的歐拉示性數(shù)，在流形的連續(xù)變形下是不變量。單連通流形（例如球面或平面）的歐拉特征值是2。

2.正多面體只有五種：正四面體、正六面體（正方體）、正八面體、正十二面體和正二十面體。

四、數(shù)學(xué)分析篇

1. 調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的，然而：

其實(shí)這些都是所謂的Riemann zeta function的特例，這個函數(shù)定義如下：

回到這部分開始給出的兩個等式，用Zeta函數(shù)的形式就分別為

事實(shí)上，我們還有

嗯，聰明的你一定會想到，肯定有個統(tǒng)一的公式�。『玫�，獎勵你一顆糖，哦不，一個公式：

式中的

是偶數(shù)項(xiàng)的Bernoulli數(shù)（每一項(xiàng)都是有理數(shù)，n>1的奇數(shù)n項(xiàng)均為0，其余請自行學(xué)習(xí)Bernoulli number），總的來講結(jié)果很美麗。如果你還知道生成函數(shù)概念的話，下面的結(jié)論希望你喜歡：

被驚艷到了有木有！！可是對于奇數(shù)的s,就沒有這樣漂亮的結(jié)果了，舉個還算能看的例子：