能帶理論及相關(guān)應(yīng)用-固體物理論文

摘要：

能帶理論(Energy band theory)是研究晶體(包括金屬、絕緣體和半導(dǎo)體的晶體)中電子的狀態(tài)及其運(yùn)動(dòng)的一種重要的近似理論。本文綜述了能帶理論中的布洛赫定理、一維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由相似、緊束縛相似及能帶圖示等相關(guān)原理，簡(jiǎn)要闡釋了能帶理論在解釋導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體性質(zhì)和導(dǎo)電性方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：能帶理論、近自由相似、緊束縛相似、導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體

引言：

能帶理論是固體物理中的重要的理論，他是研究固體中電子運(yùn)動(dòng)的主要理論基礎(chǔ)，他在量子力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律確立以后，用量子學(xué)力學(xué)研究金屬電導(dǎo)理論的過(guò)程中發(fā)展起來(lái)的，能帶理論認(rèn)為晶體中的電子是在整個(gè)晶體內(nèi)運(yùn)動(dòng)的；每個(gè)電子可以看成是獨(dú)立地在1個(gè)等效勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，按固體能帶理論，物質(zhì)的核外電子有不同的能量。根據(jù)核外電子能級(jí)的不同，把它們的能級(jí)劃分為三種能帶：導(dǎo)帶、禁帶和價(jià)帶（滿帶）。

理論方法：

• 布洛赫定理
  

對(duì)于周期性勢(shì)場(chǎng)，即

其中 取布拉維格子的所有格矢，

單電子薛定諤方程

的本征函數(shù)是按布拉維格子周期性調(diào)幅的平面波，即

且

從以上2式可以看出，布洛赫定理亦可表述為對(duì)上述薛定諤方程的每一本征解，存在一波矢 ，使得

對(duì)屬于布拉維格子的所有格矢 成立。

物理意義：平面波波矢k（又稱(chēng)“布洛赫波矢”，它與約化普朗克常數(shù)的乘積即為粒子的晶體動(dòng)量）表征不同原胞間電子波函數(shù)的位相變化，其大小只在一個(gè)倒易點(diǎn)陣矢量之內(nèi)才與波函數(shù)滿足一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以通常只考慮第一布里淵區(qū)內(nèi)的波矢。對(duì)一個(gè)給定的波矢和勢(shì)場(chǎng)分布，電子運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程具有一系列解，稱(chēng)為電子的能帶，常用波函數(shù)的下標(biāo)n以區(qū)別。這些能帶的能量在k的各個(gè)單值區(qū)分界處存在有限大小的空隙，稱(chēng)為能隙。在第一布里淵區(qū)中所有能量本征態(tài)的集合構(gòu)成了電子的能帶結(jié)構(gòu)。在單電子近似的框架內(nèi)，周期性勢(shì)場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的宏觀性質(zhì)都可以根據(jù)能帶結(jié)構(gòu)及相應(yīng)的波函數(shù)計(jì)算出。

•    一維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由相似
  

這是能帶理論中一個(gè)簡(jiǎn)單模型。該模型的基本出發(fā)點(diǎn)是晶體中的價(jià)電子行為很接近于自由電子，周期勢(shì)場(chǎng)的作用可以看作是很弱的周期性起伏的微擾處理。僅管模型簡(jiǎn)單，但給出了周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子本征態(tài)的一些最基本特點(diǎn)。

(1)零級(jí)近似時(shí)，用勢(shì)場(chǎng)平均值代替弱周期場(chǎng)V(x)；

(2)所謂弱周期場(chǎng)是指比較小的周期起伏做為微擾處理。

零級(jí)近似下，電子只受到作用，波動(dòng)方程及電子波函數(shù)，電子能量分別為：

……………………………………（6-2-1）

由于晶體不是無(wú)限長(zhǎng)而是有限長(zhǎng)L，因此波數(shù)k不能任意取值。當(dāng)引入周期性邊界條件，則k只能取下列值：，這里l為整數(shù)，

可見(jiàn)，零級(jí)近似的解為自由電子解的形式，故稱(chēng)為近自由電子近似理論。

如下圖所示，在諸能帶斷開(kāi)的間隔內(nèi)不存在允許的電子能級(jí)，稱(chēng)為禁帶，禁帶的位置及寬度取決于晶體的結(jié)構(gòu)和勢(shì)場(chǎng)的函數(shù)形式。

另一方面，對(duì)于波矢而言，N很大，故k很密集，可以認(rèn)為是k的準(zhǔn)連續(xù)函數(shù)，這些準(zhǔn)連續(xù)的能級(jí)被禁帶隔開(kāi)而形成一系列能帶1，2，3…。不難算出，每個(gè)能帶所對(duì)應(yīng)的k的取值范圍都是2π/a，即一個(gè)倒格子原胞長(zhǎng)度，而所包含的量子態(tài)數(shù)目是N，等于晶體中原胞的數(shù)目。

總體稱(chēng)為能帶結(jié)構(gòu)（n為能帶編號(hào)），相鄰兩個(gè)能帶與之間可以相接，重疊或是分開(kāi)，對(duì)于一維周期性勢(shì)場(chǎng)來(lái)說(shuō)屬于分開(kāi)情況，則出現(xiàn)帶隙——禁帶。

3.緊束縛相似

緊束縛近似是將在一個(gè)原子附近的電子看作受該原子勢(shì)場(chǎng)的作用為主，其他原子勢(shì)場(chǎng)的作用看作微擾，從而可以得到電子的原子能級(jí)和晶體中能帶之間的相互關(guān)系。

在此近似中，能帶的電子波函數(shù)可以寫(xiě)成布洛赫波函數(shù)之和的形式：

其中被稱(chēng)為瓦尼爾函數(shù)。

能帶的圖示法：

（1）簡(jiǎn)約布里淵區(qū)圖示

在這種表示中，k為簡(jiǎn)約波矢，即k限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)。E(k)是k的多值函數(shù)，為區(qū)分，將其按能量由低到高標(biāo)記為，…，下圖為一維情況。這種圖示的特點(diǎn)是在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)表示出所有能帶，可以看到能帶結(jié)構(gòu)的全貌，E(k)是k的多值函數(shù)，通常都采用這種圖

（2）重復(fù)區(qū)圖示

第一布里淵區(qū)的每個(gè)能帶在整個(gè)k空間周期性重復(fù)，如圖所示。其特點(diǎn)：每個(gè)布里淵區(qū)都表示出所有的能帶，E(k)是k的周期函數(shù)

（3）擴(kuò)展區(qū)圖示

按能量由低到高的順序，分別將能帶k限制在第一布里淵區(qū)、第二布里淵區(qū)，…等等。一個(gè)布里淵區(qū)表示一個(gè)能帶，如圖所示。其特點(diǎn)是：E(k)是k的單值函數(shù)，一個(gè)布里淵區(qū)表示一個(gè)能帶。

利用能帶理論區(qū)分導(dǎo)體、半導(dǎo)及絕緣體：

固體的導(dǎo)電性能由其能帶結(jié)構(gòu)決定，按固體能帶理論,物質(zhì)的核外電子有不同的能量.根據(jù)核外電子能級(jí)的不同,把它們的能級(jí)劃分為三種能帶：導(dǎo)帶、禁帶和價(jià)帶（滿帶）。在禁帶里,是不允許有電子存在的，禁帶把導(dǎo)帶和價(jià)帶分開(kāi)。

對(duì)于導(dǎo)體,它的大量電子處于導(dǎo)帶,能自由移動(dòng)。在電場(chǎng)作用下,成為載流子.因此,導(dǎo)體載流子的濃度很大。

對(duì)半導(dǎo)體,它的電子大多數(shù)都處于價(jià)帶,不能自由移動(dòng)。但它的禁帶寬度很小，在熱、光等外界因素的作用下,可以使少量?jī)r(jià)帶中的電子越過(guò)禁帶,躍遷到導(dǎo)帶上去成為載流子。

絕緣體和半導(dǎo)體的區(qū)別主要是禁的寬度不同。半導(dǎo)體的禁帶很窄,（一般低于3eV）,絕緣體的禁帶寬一些,電子的躍遷困難得多。因此,絕緣體的載流子的濃度很小。導(dǎo)電性能很弱.實(shí)際絕緣體里,導(dǎo)帶里的電子不是沒(méi)有,并且總有一些電子會(huì)從價(jià)帶躍遷到導(dǎo)帶,但數(shù)量極少。所以,在一般情況下,可以忽略在外場(chǎng)作用下它們移動(dòng)所形成的電流。

若晶體的原胞含有奇數(shù)個(gè)價(jià)電子，這種晶體必是導(dǎo)體；原胞含有偶數(shù)個(gè)價(jià)電子的晶體，如果能帶交疊，則晶體是導(dǎo)體或半金屬，如果能帶沒(méi)有交疊，禁帶窄的晶體就是半導(dǎo)體，禁帶寬的則是絕緣體。

導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體的大致應(yīng)用：

導(dǎo)體：水、溶液、金屬、膠體、濁液、熔融液、人體等，一般金屬都是導(dǎo)體，可以做成導(dǎo)線。

半導(dǎo)體：半導(dǎo)體的應(yīng)用十分廣泛，主要是制成有特殊功能的元器件，如晶體管、集成電路、整流器、激光器、發(fā)光管以及各種光電探測(cè)器件、微波器件等。

絕緣體：絕緣體通常用做電纜的外表覆層。陶瓷、橡膠、干布、干木頭、塑料制品、空氣、純凈的水、玻璃、經(jīng)過(guò)加工的絕緣油、電木、云母等都是絕緣體。局限性：

能帶理論在闡明電子在晶格中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、固體的導(dǎo)電機(jī)構(gòu)、合金的某些性質(zhì)和金屬的結(jié)合能等方面取得了重大成就，但它畢竟是一種近似理論，存在一定的局限性。例如某些晶體的導(dǎo)電性不能用能帶理論解釋?zhuān)�即電子共有化模型和單電子近似不適用于這些晶體。多電子理論建立后，單電子能帶論的結(jié)果常作為多電子理論的起點(diǎn)，在解決現(xiàn)代復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，兩種理論是相輔相成的。

結(jié)論：

能帶理論是現(xiàn)代固體理論基礎(chǔ)的理論基礎(chǔ)，它可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化，對(duì)于導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體的區(qū)分有著重要應(yīng)用，利用近自由相似、緊束縛相似法可以區(qū)分出導(dǎo)體等的能帶，而導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體在生活、科研等各方面都有著廣泛的應(yīng)用�？傊�，能帶理論對(duì)微電子技術(shù)的發(fā)展起著不可估量的作用。

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