music算法仿真，信號(hào)頻率估計(jì)詳解

信號(hào)頻率估計(jì)

信號(hào)頻率估計(jì)是信息科學(xué)在信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)重要的組成部分，指的是通過對(duì)信號(hào)采樣值的計(jì)算和變換，估計(jì)出淹沒于噪聲中的信號(hào)頻率。按照信號(hào)的平穩(wěn)性差異，可將頻率估計(jì)方法分為平穩(wěn)信號(hào)頻率估計(jì)與非平穩(wěn)信號(hào)頻率估計(jì)。

平穩(wěn)信號(hào)頻率估計(jì)始于1822年，傅里葉提出諧波分析理論，奠定了信號(hào)分析和功率譜估計(jì)理論基礎(chǔ)。在19實(shí)際末，Schuster提出周期圖概念，至今沿用。在1958年，Blackman和Tukey提出自相關(guān)譜估計(jì)，簡(jiǎn)稱BT法。以上幾種方法為信號(hào)頻率估計(jì)經(jīng)典法。經(jīng)典法的缺點(diǎn)是分辨力低（為1/N，N為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度），提高分辨力需增加數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N，從而增加運(yùn)算時(shí)間。對(duì)此，提出了修正平均周期圖法（Welch法）、Bartlett法等。

在60年代末70年代初，科學(xué)家們提出使用現(xiàn)代法來進(jìn)行信號(hào)的頻率估計(jì)，以提高頻率分辨率�，F(xiàn)代法分為兩類：參數(shù)估計(jì)法，非參模型法。參數(shù)估計(jì)法包括：自回歸（AR）模型，滑動(dòng)平均（MA）模型，自回歸滑動(dòng)平均（ARMA）模型。參數(shù)估計(jì)法具有較好的頻率分辨能力，運(yùn)算速度較快，但性能受參數(shù)的選取等因素的影響。非參數(shù)模型法包括：最大似然法，最小方差無失真法（MVDR），多信號(hào)分類法（MUSIC），子空間旋轉(zhuǎn)不定法（ESPRIT）。

對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)來說，瞬時(shí)頻率隨時(shí)間變化，時(shí)頻分布能夠更準(zhǔn)確的分析信號(hào)的時(shí)變本質(zhì)，讓分析精確到具體時(shí)間和特定的頻率上，使用的方法有Gabor變換，短時(shí)傅里葉變換，小波變換，S變換，Hilbert-Huang變換等。

下面具體介紹不同的信號(hào)頻率估計(jì)方法。

1、周期圖法（Periodogram）

周期圖法通過計(jì)算采樣信號(hào)的FFT，獲得離散點(diǎn)的幅度，然后取其幅頻特性的平方并除以序列長(zhǎng)度N。

由于序列x(n)的離散傅里葉變換X(ejw)具有周期性，因而這種功率譜也具有周期性，被稱為周期圖。因其直接觀察數(shù)據(jù)的傅氏變換，又被稱為直接法。周期圖是信號(hào)功率譜的一個(gè)有偏估值，隨著所取信號(hào)序列的長(zhǎng)度的不同，所得到的周期圖也不同。應(yīng)用時(shí)，要在方差、偏差、分辨率之間進(jìn)行折中選擇。

2、自相關(guān)函數(shù)法（BT法）

當(dāng)m和N都比較大時(shí)，計(jì)算量很大。

接下來介紹現(xiàn)代法中的參數(shù)估計(jì)法。

參數(shù)估計(jì)法的基本思路：1、參數(shù)模型假設(shè)研究過程是由一個(gè)輸入序列u(N)激勵(lì)一個(gè)線性系統(tǒng)H(z)的輸出。2、由假設(shè)參數(shù)模型的輸出x(n)或其自相關(guān)函數(shù)來估計(jì)H(z)的參數(shù)。3、由H(z)的參數(shù)估計(jì)x(n)的功率譜。所以參數(shù)模型功率譜的求解有兩步：1、H(z)模型參數(shù)估計(jì)2、依據(jù)模型參數(shù)求功率譜。

3、AR模型法

x(n)的功率譜可表示為

是激勵(lì)白噪聲的方差，Sx(ejw)為功率譜密度，ak和bk為模型參數(shù)。若式中參數(shù)b1,b2,…,bq全為0，則上式變?yōu)?img id="aimg_Z1UzU" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" class="zoom" width="213" height="55" src="http://c.51hei.com/a/huq/a/a/9/248/248.008.jpg" border="0" alt="" />即為AR模型。

AR模型又稱為自回歸模型，是一個(gè)全極點(diǎn)模型。該模型現(xiàn)在的輸出是現(xiàn)在的輸入和過去p個(gè)輸出的加權(quán)和：，式中u(n)為白噪聲信號(hào)，p為AR模型的階數(shù)。對(duì)上式求z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)：

由隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)理論知輸出序列的功率譜：

，

式中，為白噪聲序列方差。AR模型估計(jì)中，由于隱含自相關(guān)函數(shù)的外推，而使分辨率大大提高；從而觀測(cè)數(shù)據(jù)的多少對(duì)分辨率影響不大，但對(duì)估計(jì)誤差會(huì)有影響，數(shù)據(jù)越多，估計(jì)誤差越小。AR模型中階數(shù)p越低，功率譜分辨率降低，但譜的平滑性變好，估計(jì)誤差降低。

ARMA模型是既有零點(diǎn)，又有極點(diǎn)的模型。ARMA(p，q)的差分方程如下，其中u(n-k)是零均值，方差為的白噪聲，p，q分別為自回歸（AR）和滑動(dòng)平均（MA）的階數(shù)。由AR模型得到，對(duì)已知數(shù)據(jù)uN(n)，經(jīng)過，輸出y(n)近似于一個(gè)MA(q)過程，求出和輸入噪聲方差的估計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)ARMA(p，q)模型的參數(shù)估計(jì)。得到

最大似然法頻率估計(jì)是通過求解似然函數(shù)的最大值來進(jìn)行頻率估計(jì)，此法對(duì)信噪比門限要求較低，不需要事先對(duì)噪聲進(jìn)行學(xué)習(xí)，應(yīng)用簡(jiǎn)便，是最準(zhǔn)確的頻率估計(jì)方法；但在求解最大似然函數(shù)最大值時(shí)要求解一個(gè)高度非線性化的方程，計(jì)算量非常大，有時(shí)甚至無法求解，不適用于實(shí)時(shí)計(jì)算。

設(shè)信號(hào)表示為，其中，a(t)已知；相位是在上均勻分布的隨機(jī)變量；頻率w是待估計(jì)的信號(hào)參量。接收信號(hào)表示為，其中，n(t)是均值為零的高斯白噪聲。當(dāng)頻率w為待估計(jì)量時(shí)，有

其中，

，

式中。令，則有，這樣，似然函數(shù)

將對(duì)在上求統(tǒng)計(jì)平均，得

由p[x(t)|w]對(duì)w求極大值就能得到頻率w的最大似然估計(jì)量。

6、多信號(hào)分類法（MUSIC算法）

MUSIC算法利用信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交性，構(gòu)造空間譜函數(shù)，通過譜峰搜索，估計(jì)信號(hào)頻率。

根據(jù)觀測(cè)樣本值x(0)，x(1)，…，x(N-1)，估計(jì)自相關(guān)矩陣；對(duì)進(jìn)行特征分解，得到(M-K)個(gè)最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，構(gòu)造矩陣G；在

[-π，π]內(nèi)改變w，計(jì)算SMUSIC(w)，峰值位置就是信號(hào)頻率的估計(jì)值。

MUSIC算法是空間譜估計(jì)方法中極為重要的一種，分辨率高，對(duì)信號(hào)個(gè)數(shù)、噪聲干擾強(qiáng)度、相干關(guān)系等可以進(jìn)行漸近無偏估計(jì)，在噪聲子空間大于信號(hào)子空間時(shí)，MUSIC算法有非常好的性能。但其需要在整個(gè)頻域內(nèi)進(jìn)行譜峰搜索，實(shí)時(shí)性較差。

7、旋轉(zhuǎn)不變子空間算法（ESPRIT算法）

ESPRIT算法是基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法。首先，根據(jù)觀測(cè)樣本值x(0)，x(1)，…，x(N-1)，估計(jì)相關(guān)矩陣；其次，對(duì)進(jìn)行特征分解，計(jì)算得到最小特征值；之后，構(gòu)造矩陣對(duì)，其中；然后對(duì)進(jìn)行廣義特征分解，最接近單位圓的K個(gè)廣義特征值的相位給出了信號(hào)頻率的估

ESPRIT算法具有較高的估計(jì)精度，無需像MUSIC算法一樣進(jìn)行譜峰搜索，而是直接解出估計(jì)的信號(hào)頻率。但是ESPRIT算法需進(jìn)行兩次特征值分解，計(jì)算量較大。

8、非平穩(wěn)信號(hào)頻率估計(jì)方法

對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，不能簡(jiǎn)單的使用平穩(wěn)信號(hào)的估計(jì)方法，必須考慮時(shí)變因素。人們希望找到一個(gè)二維函數(shù)，既能反映信號(hào)的頻率內(nèi)容，也能反映出該頻率內(nèi)容隨時(shí)間變化的規(guī)律。其中最典型的是以Cohen類為代表的雙線性時(shí)頻分布，此分布可表示為

式中,是一個(gè)二維窗函數(shù)，給定不同的窗函數(shù)可以得到不同的時(shí)頻分布。

若，式中w是一個(gè)一維的窗函數(shù)，上式可以簡(jiǎn)化為如下的譜圖

式中，稱為信號(hào)x(t)的短時(shí)傅里葉變換，它

短時(shí)傅里葉變換，它將分段加窗后的信號(hào)視為平穩(wěn)信號(hào)，然后利用傅里葉變換進(jìn)行分析，屬于線性變換，對(duì)地信噪比下的多分量信號(hào)有良好的分析能力，但是其時(shí)頻分辨率較低，存在窗口效應(yīng)。

下面對(duì)MUSIC算法進(jìn)行仿真說明，設(shè)被測(cè)量頻率為0.4Hz。

Snr=-20時(shí),解出f=0.315Hz，實(shí)際f=0.400Hz，相對(duì)誤差15.25%

Snr=-15時(shí)，解出f=0.412Hz，相對(duì)誤差7.5%

Snr=-10時(shí)，解出f=0.379Hz，相對(duì)誤差5.25%

Snr=-5時(shí)，解出f=0.3920Hz，相對(duì)誤差2%

Snr=0時(shí)，解出f=0.3990Hz，相對(duì)誤差0.5%

Snr=5時(shí)，解出f=0.400Hz，相對(duì)誤差0%

Snr=10時(shí)，解出f=0.400Hz，相對(duì)誤差0%。

在不同信噪比的情況下，計(jì)算1000組數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差。

信噪比與相對(duì)誤差的關(guān)系，橫軸為信噪比，豎軸為相對(duì)誤差。

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