PID控制算法的C語言實現(xiàn)一PID算法原理,離散化,位置型增量型積分分離梯形積分PID實現(xiàn)

ID:407188 · 發(fā)表于 2018-10-9 19:33

最近兩天在考慮一般控制算法的C語言實現(xiàn)問題，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)上尚沒有一套完整的比較體系的講解。于是總結(jié)了幾天，整理一套思路分享給大家。

在工業(yè)應(yīng)用中PID及其衍生算法是應(yīng)用最廣泛的算法之一，是當之無愧的萬能算法，如果能夠熟練掌握PID算法的設(shè)計與實現(xiàn)過程，對于一般的研發(fā)人員來講，應(yīng)該是足夠應(yīng)對一般研發(fā)問題了，而難能可貴的是，在我所接觸的控制算法當中，PID控制算法又是最簡單，最能體現(xiàn)反饋思想的控制算法，可謂經(jīng)典中的經(jīng)典。經(jīng)典的未必是復雜的，經(jīng)典的東西常常是簡單的，而且是最簡單的，想想牛頓的力學三大定律吧，想想愛因斯坦的質(zhì)能方程吧，何等的簡單！簡單的不是原始的，簡單的也不是落后的，簡單到了美的程度。先看看PID算法的一般形式：

PID的流程簡單到了不能再簡單的程度，通過誤差信號控制被控量，而控制器本身就是比例、積分、微分三個環(huán)節(jié)的加和。這里我們規(guī)定（在t時刻）：
1.輸入量為rin(t);
2.輸出量為rout(t);
3.偏差量為err(t)=rin(t)-rout(t);
pid的控制規(guī)律為

理解一下這個公式，主要從下面幾個問題著手，為了便于理解，把控制環(huán)境具體一下：
1.規(guī)定這個流程是用來為直流電機調(diào)速的;
2.輸入量rin(t)為電機轉(zhuǎn)速預定值;
3.輸出量rout(t)為電機轉(zhuǎn)速實際值;
4.執(zhí)行器為直流電機;
5.傳感器為光電碼盤，假設(shè)碼盤為10線;
6.直流電機采用PWM調(diào)速轉(zhuǎn)速用單位 轉(zhuǎn)/min 表示;
不難看出以下結(jié)論：
1.輸入量rin（t）為電機轉(zhuǎn)速預定值（轉(zhuǎn)/min）;
2. 輸出量rout(t)為電機轉(zhuǎn)速實際值（轉(zhuǎn)/min）;
3.偏差量為預定值和實際值之差（轉(zhuǎn)/min）;
那么以下幾個問題需要弄清楚：
1.通過PID環(huán)節(jié)之后的U(t)是什么值呢？
2.控制執(zhí)行器（直流電機）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)速應(yīng)該為電壓值（也就是PWM占空比）。
3.那么U(t)與PWM之間存在怎樣的聯(lián)系呢？
（見附錄1）這篇文章上給出了一種方法，即，每個電壓對應(yīng)一個轉(zhuǎn)速，電壓和轉(zhuǎn)速之間呈現(xiàn)線性關(guān)系。但是我考慮這種方法的前提是把直流電機的特性理解為線性了，而實際情況下，直流電機的特性絕對不是線性的，或者說在局部上是趨于線性的，這就是為什么說PID調(diào)速有個范圍的問題。具體看一下（見附錄2）這篇文章就可以了解了。所以在正式進行調(diào)速設(shè)計之前，需要現(xiàn)有開環(huán)系統(tǒng)，測試電機和轉(zhuǎn)速之間的特性曲線（或者查閱電機的資料說明），然后再進行閉環(huán)參數(shù)整定。這篇先寫到這，下一篇說明連續(xù)系統(tǒng)的離散化問題。并根據(jù)離散化后的特點講述位置型PID和增量型PID的用法和C語言實現(xiàn)過程。

PID控制算法的C語言實現(xiàn)二 PID算法的離散化
上一節(jié)中，我論述了PID算法的基本形式，并對其控制過程的實現(xiàn)有了一個簡要的說明，通過上一節(jié)的總結(jié)，基本已經(jīng)可以明白PID控制的過程。這一節(jié)中先繼續(xù)上一節(jié)內(nèi)容補充說明一下。
1.說明一下反饋控制的原理，通過上一節(jié)的框圖不難看出，PID控制其實是對偏差的控制過程;
2.如果偏差為0,則比例環(huán)節(jié)不起作用，只有存在偏差時，比例環(huán)節(jié)才起作用。
3.積分環(huán)節(jié)主要是用來消除靜差，所謂靜差，就是系統(tǒng)穩(wěn)定后輸出值和設(shè)定值之間的差值，積分環(huán)節(jié)實際上就是偏差累計的過程，把累計的誤差加到原有系統(tǒng)上以抵消系統(tǒng)造成的靜差。
4.而微分信號則反應(yīng)了偏差信號的變化規(guī)律，或者說是變化趨勢，根據(jù)偏差信號的變化趨勢來進行超前調(diào)節(jié)，從而增加了系統(tǒng)的快速性。
好了，關(guān)于PID的基本說明就補充到這里，下面將對PID連續(xù)系統(tǒng)離散化，從而方便在處理器上實現(xiàn)。下面把連續(xù)狀態(tài)的公式再貼一下：

假設(shè)采樣間隔為T，則在第K T時刻：
偏差err(K)=rin(K)-rout(K);
積分環(huán)節(jié)用加和的形式表示，即err(K)+err(K+1)+……;
微分環(huán)節(jié)用斜率的形式表示，即[err(K)-err(K-1)]/T;
從而形成如下PID離散表示形式：

則u(K)可表示成為：

至于說Kp、Ki、Kd三個參數(shù)的具體表達式，我想可以輕松的推出了，這里節(jié)省時間，不再詳細表示了。
其實到這里為止，PID的基本離散表示形式已經(jīng)出來了。目前的這種表述形式屬于位置型PID，另外一種表述方式為增量式PID，由U上述表達式可以輕易得到：

那么：

這就是離散化PID的增量式表示方式，由公式可以看出，增量式的表達結(jié)果和最近三次的偏差有關(guān)，這樣就大大提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。需要注意的是最終的輸出結(jié)果應(yīng)該為
   u(K)+增量調(diào)節(jié)值;
PID的離散化過程基本思路就是這樣，下面是將離散化的公式轉(zhuǎn)換成為C語言，從而實現(xiàn)微控制器的控制作用。

PID控制算法的C語言實現(xiàn)三位置型PID的C語言實現(xiàn)

上一節(jié)中已經(jīng)抽象出了位置性PID和增量型PID的數(shù)學表達式，這一節(jié)，重點講解C語言代碼的實現(xiàn)過程，算法的C語言實現(xiàn)過程具有一般性，通過PID算法的C語言實現(xiàn)，可以以此類推，設(shè)計其它算法的C語言實現(xiàn)。
第一步：定義PID變量結(jié)構(gòu)體，代碼如下：
struct _pid{
float SetSpeed;          //定義設(shè)定值
float ActualSpeed;       //定義實際值
float err;             //定義偏差值
float err_last;          //定義上一個偏差值
float Kp,Ki,Kd;          //定義比例、積分、微分系數(shù)
float voltage;       //定義電壓值（控制執(zhí)行器的變量）
float integral;          //定義積分值
}pid;
控制算法中所需要用到的參數(shù)在一個結(jié)構(gòu)體中統(tǒng)一定義，方便后面的使用。
  第二部：初始化變量，代碼如下：
void PID_init(){
printf("PID_init begin \n");
pid.SetSpeed=0.0;
pid.ActualSpeed=0.0;
pid.err=0.0;
pid.err_last=0.0;
pid.voltage=0.0;
pid.integral=0.0;
pid.Kp=0.2;
pid.Ki=0.015;
pid.Kd=0.2;
printf("PID_init end \n");
}
統(tǒng)一初始化變量，尤其是Kp,Ki,Kd三個參數(shù)，調(diào)試過程當中，對于要求的控制效果，可以通過調(diào)節(jié)這三個量直接進行調(diào)節(jié)。
第三步：編寫控制算法，代碼如下：
float PID_realize(float speed){
pid.SetSpeed=speed;
pid.err=pid.SetSpeed-pid.ActualSpeed;
pid.integral+=pid.err;
pid.voltage=pid.Kp*pid.err+pid.Ki*pid.integral+pid.Kd*(pid.err-pid.err_last);
pid.err_last=pid.err;
pid.ActualSpeed=pid.voltage*1.0;
return pid.ActualSpeed;
}
注意：這里用了最基本的算法實現(xiàn)形式，沒有考慮死區(qū)問題，沒有設(shè)定上下限，只是對公式的一種直接的實現(xiàn)，后面的介紹當中還會逐漸的對此改進。
到此為止，PID的基本實現(xiàn)部分就初步完成了。下面是測試代碼：
int main(){
printf("System begin \n");
PID_init();
int count=0;
while(count<1000)
{
      float speed=PID_realize(200.0);
      printf("%f\n",speed);
      count++;
}
return 0;
}
下面是經(jīng)過1000次的調(diào)節(jié)后輸出的1000個數(shù)據(jù)（具體的參數(shù)整定過程就不說明了，網(wǎng)上這種說明非常多）：

PID控制算法的C語言實現(xiàn)四增量型PID的C語言實現(xiàn)
上一節(jié)中介紹了最簡單的位置型PID的實現(xiàn)手段，這一節(jié)主要講解增量式PID的實現(xiàn)方法，位置型和增量型PID的數(shù)學公式請參見我的系列文《PID控制算法的C語言實現(xiàn)二》中的講解。實現(xiàn)過程仍然是分為定義變量、初始化變量、實現(xiàn)控制算法函數(shù)、算法測試四個部分，詳細分類請參加《PID控制算法的C語言實現(xiàn)三》中的講解，這里直接給出代碼了。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
struct _pid{
float SetSpeed; //定義設(shè)定值
float ActualSpeed; //定義實際值
float err; //定義偏差值
float err_next; //定義上一個偏差值
float err_last; //定義最上前的偏差值
float Kp,Ki,Kd; //定義比例、積分、微分系數(shù)
}pid;
void PID_init(){
pid.SetSpeed=0.0;
pid.ActualSpeed=0.0;
pid.err=0.0;
pid.err_last=0.0;
pid.err_next=0.0;
pid.Kp=0.2;
pid.Ki=0.015;
pid.Kd=0.2;
}
float PID_realize(float speed){
pid.SetSpeed=speed;
pid.err=pid.SetSpeed-pid.ActualSpeed;
float incrementSpeed=pid.Kp*(pid.err-pid.err_next)+pid.Ki*pid.err+pid.Kd*(pid.err-2*pid.err_next+pid.err_last);
pid.ActualSpeed+=incrementSpeed;
pid.err_last=pid.err_next;
pid.err_next=pid.err;
return pid.ActualSpeed;
}
int main(){
PID_init();
int count=0;
while(count<1000)
{
float speed=PID_realize(200.0);
printf("%f\n",speed);
count++;
}
return 0;
}

復制代碼

PID控制算法的C語言實現(xiàn)五積分分離的PID控制算法C語言實現(xiàn)

通過三、四兩篇文章，基本上已經(jīng)弄清楚了PID控制算法的最常規(guī)的表達方法。在普通PID控制中，引入積分環(huán)節(jié)的目的，主要是為了消除靜差，提高控制精度。但是在啟動、結(jié)束或大幅度增減設(shè)定時，短時間內(nèi)系統(tǒng)輸出有很大的偏差，會造成PID運算的積分積累，導致控制量超過執(zhí)行機構(gòu)可能允許的最大動作范圍對應(yīng)極限控制量，從而引起較大的超調(diào)，甚至是震蕩，這是絕對不允許的。
為了克服這一問題，引入了積分分離的概念，其基本思路是當被控量與設(shè)定值偏差較大時，取消積分作用; 當被控量接近給定值時，引入積分控制，以消除靜差，提高精度。其具體實現(xiàn)代碼如下：
pid.Kp=0.2;
pid.Ki=0.04;
pid.Kd=0.2;  //初始化過程

if(abs(pid.err)>200)
{
index=0;
}else{
index=1;
pid.integral+=pid.err;
}
pid.voltage=pid.Kp*pid.err+index*pid.Ki*pid.integral+pid.Kd*(pid.err-pid.err_last); //算法具體實現(xiàn)過程

其它部分的代碼參見《PID控制算法的C語言實現(xiàn)三》中的講解，不再贅述。同樣采集1000個量，會發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)到199所有的時間是原來時間的1/2,系統(tǒng)的快速性得到了提高。

PID控制算法的C語言實現(xiàn)六抗積分飽和的PID控制算法C語言實現(xiàn)

所謂的積分飽和現(xiàn)象是指如果系統(tǒng)存在一個方向的偏差，PID控制器的輸出由于積分作用的不斷累加而加大，從而導致執(zhí)行機構(gòu)達到極限位置，若控制器輸出U(k)繼續(xù)增大，執(zhí)行器開度不可能再增大，此時計算機輸出控制量超出了正常運行范圍而進入飽和區(qū)。一旦系統(tǒng)出現(xiàn)反向偏差，u(k)逐漸從飽和區(qū)退出。進入飽和區(qū)越深則退出飽和區(qū)時間越長。在這段時間里，執(zhí)行機構(gòu)仍然停留在極限位置而不隨偏差反向而立即做出相應(yīng)的改變，這時系統(tǒng)就像失控一樣，造成控制性能惡化，這種現(xiàn)象稱為積分飽和現(xiàn)象或積分失控現(xiàn)象。
防止積分飽和的方法之一就是抗積分飽和法，該方法的思路是在計算u(k)時，首先判斷上一時刻的控制量u(k-1)是否已經(jīng)超出了極限范圍：如果u(k-1)>umax，則只累加負偏差; 如果u(k-1)<umin，則只累加正偏差。從而避免控制量長時間停留在飽和區(qū)。直接貼出代碼，不懂的看看前面幾節(jié)的介紹。
struct _pid{
float SetSpeed;          //定義設(shè)定值
float ActualSpeed;       //定義實際值
float err;             //定義偏差值
float err_last;          //定義上一個偏差值
float Kp,Ki,Kd;          //定義比例、積分、微分系數(shù)
float voltage;          //定義電壓值（控制執(zhí)行器的變量）
float integral;          //定義積分值
float umax;
float umin;
}pid;

void PID_init(){
printf("PID_init begin \n");
pid.SetSpeed=0.0;
pid.ActualSpeed=0.0;
pid.err=0.0;
pid.err_last=0.0;
pid.voltage=0.0;
pid.integral=0.0;
pid.Kp=0.2;
pid.Ki=0.1;    //注意，和上幾次相比，這里加大了積分環(huán)節(jié)的值
pid.Kd=0.2;
pid.umax=400;
pid.umin=-200;
printf("PID_init end \n");
}
float PID_realize(float speed){
int index;
pid.SetSpeed=speed;
pid.err=pid.SetSpeed-pid.ActualSpeed;

if(pid.ActualSpeed>pid.umax)  //灰色底色表示抗積分飽和的實現(xiàn)
{

   if(abs(pid.err)>200)    //藍色標注為積分分離過程
      {
         index=0;
      }else{
         index=1;
         if(pid.err<0)
         {
            pid.integral+=pid.err;
         }
      }
}else if(pid.ActualSpeed<pid.umin){
      if(abs(pid.err)>200)    //積分分離過程
      {
         index=0;
      }else{
         index=1;
         if(pid.err>0)
         {
         pid.integral+=pid.err;
         }
      }
}else{
      if(abs(pid.err)>200)                   //積分分離過程
      {
         index=0;
      }else{
         index=1;
         pid.integral+=pid.err;
      }
}

pid.voltage=pid.Kp*pid.err+index*pid.Ki*pid.integral+pid.Kd*(pid.err-pid.err_last);

pid.err_last=pid.err;
pid.ActualSpeed=pid.voltage*1.0;
return pid.ActualSpeed;
}
最終的測試程序運算結(jié)果如下，可以明顯的看出系統(tǒng)的穩(wěn)定時間相對前幾次來講縮短了不少。

PID控制算法的C語言實現(xiàn)七梯形積分的PID控制算法C語言實現(xiàn) 先看一下梯形算法的積分環(huán)節(jié)公式

作為PID控制律的積分項，其作用是消除余差，為了盡量減小余差，應(yīng)提高積分項運算精度，為此可以將矩形積分改為梯形積分，具體實現(xiàn)的語句為：
pid.voltage=pid.Kp*pid.err+index*pid.Ki*pid.integral/2+pid.Kd*(pid.err-pid.err_last);  //梯形積分
其它函數(shù)請參見本系列教程六中的介紹
最后運算的穩(wěn)定數(shù)據(jù)為：199.999878，較教程六中的199.9999390而言，精度進一步提高。

PID控制算法的C語言實現(xiàn)八變積分的PID控制算法C語言實現(xiàn) 變積分PID可以看成是積分分離的PID算法的更一般的形式。在普通的PID控制算法中，由于積分系數(shù)ki是常數(shù)，所以在整個控制過程中，積分增量是不變的。但是，系統(tǒng)對于積分項的要求是，系統(tǒng)偏差大時，積分作用應(yīng)該減弱甚至是全無，而在偏差小時，則應(yīng)該加強。積分系數(shù)取大了會產(chǎn)生超調(diào)，甚至積分飽和，取小了又不能短時間內(nèi)消除靜差。因此，根據(jù)系統(tǒng)的偏差大小改變積分速度是有必要的。
變積分PID的基本思想是設(shè)法改變積分項的累加速度，使其與偏差大小相對應(yīng)：偏差越大，積分越慢; 偏差越小，積分越快。
這里給積分系數(shù)前加上一個比例值index：
當abs(err)<180時，index=1;
當180<abs(err)<200時，index=（200-abs(err)）/20;
當abs(err)>200時，index=0;
   最終的比例環(huán)節(jié)的比例系數(shù)值為ki*index;
具體PID實現(xiàn)代碼如下：
pid.Kp=0.4;
pid.Ki=0.2; //增加了積分系數(shù)
pid.Kd=0.2;

float PID_realize(float speed){
float index;
pid.SetSpeed=speed;
pid.err=pid.SetSpeed-pid.ActualSpeed;

if(abs(pid.err)>200)          //變積分過程
{
index=0.0;
}else if(abs(pid.err)<180){
index=1.0;
pid.integral+=pid.err;
}else{
index=(200-abs(pid.err))/20;
pid.integral+=pid.err;
}
pid.voltage=pid.Kp*pid.err+index*pid.Ki*pid.integral+pid.Kd*(pid.err-pid.err_last);

pid.err_last=pid.err;
pid.ActualSpeed=pid.voltage*1.0;
return pid.ActualSpeed;
}
最終結(jié)果可以看出，系統(tǒng)的穩(wěn)定速度非常快（測試程序參見本系列教程3）：

數(shù)據(jù)見附件

PID控制算法的C語言實現(xiàn)九專家PID與模糊PID的C語言實現(xiàn) 本節(jié)是PID控制算法的C語言實現(xiàn)系列的最后一節(jié)，前面8節(jié)中，已經(jīng)分別從PID的實現(xiàn)到深入的過程進行了一個簡要的講解，從前面的講解中不難看出，PID的控制思想非常簡單，其主要問題點和難點在于比例、積分、微分環(huán)節(jié)上的參數(shù)整定過程，對于執(zhí)行器控制模型確定或者控制模型簡單的系統(tǒng)而言，參數(shù)的整定可以通過計算獲得，對于一般精度要求不是很高的執(zhí)行器系統(tǒng)，可以采用拼湊的方法進行實驗型的整定。
然而，在實際的控制系統(tǒng)中，線性系統(tǒng)畢竟是少數(shù)，大部分的系統(tǒng)屬于非線性系統(tǒng)，或者說是系統(tǒng)模型不確定的系統(tǒng)，如果控制精度要求較高的話，那么對于參數(shù)的整定過程是有難度的。專家PID和模糊PID就是為滿足這方面的需求而設(shè)計的。專家算法和模糊算法都歸屬于智能算法的范疇，智能算法最大的優(yōu)點就是在控制模型未知的情況下，可以對模型進行控制。這里需要注意的是，專家PID也好，模糊PID也罷，絕對不是專家系統(tǒng)或模糊算法與PID控制算法的簡單加和，他是專家系統(tǒng)或者模糊算法在PID控制器參數(shù)整定上的應(yīng)用。也就是說，智能算法是輔助PID進行參數(shù)整定的手段。
其實在前面幾節(jié)的講述中，已經(jīng)用到了專家PID的一些特例行為了，從第五節(jié)到第八節(jié)都是專家系統(tǒng)一些特列化的算法，對某些條件進行了局部的判定，比如如果偏差太大的話，就去除積分項，這本身就是含有經(jīng)驗的專家系統(tǒng)。
專家系統(tǒng)、模糊算法，需要參數(shù)整定就一定要有整定的依據(jù)，也就是說什么情況下整定什么值是要有依據(jù)的，這個依據(jù)是一些邏輯的組合，只要找出其中的邏輯組合關(guān)系來，這些依據(jù)就再明顯不過了。下面先說一下專家PID的C語言實現(xiàn)。正如前面所說，需要找到一些依據(jù)，還得從PID系數(shù)本身說起。
1.比例系數(shù)Kp的作用是加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，提高系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。Kp越大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度越高，但是容易產(chǎn)生超調(diào)，甚至會使系統(tǒng)不穩(wěn)定。Kp取值過小，則會降低調(diào)節(jié)精度，使響應(yīng)速度緩慢，從而延長調(diào)節(jié)時間，是系統(tǒng)靜態(tài)、動態(tài)特性變差；
2.積分作用系數(shù)Ki的作用是消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。Ki越大，系統(tǒng)的靜態(tài)誤差消除的越快，但是Ki過大，在響應(yīng)過程的初期會產(chǎn)生積分飽和的現(xiàn)象，從而引起響應(yīng)過程的較大超調(diào)。若Ki過小，將使系統(tǒng)靜態(tài)誤差難以消除，影響系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度；
3.微分系數(shù)Kd的作用是改善系統(tǒng)的動態(tài)特性，其作用主要是在響應(yīng)過程中抑制偏差向任何方向的變化，對偏差變化進行提前預報。但是kd過大，會使響應(yīng)過程提前制動，從而延長調(diào)節(jié)時間，而且會降低系統(tǒng)的抗干擾性。
反應(yīng)系統(tǒng)性能的兩個參數(shù)是系統(tǒng)誤差e和誤差變化律ec，這點還是好理解的：
首先我們規(guī)定一個誤差的極限值，假設(shè)為Mmax；規(guī)定一個誤差的比較大的值，假設(shè)為Mmid；規(guī)定一個誤差的較小值，假設(shè)為Mmin；
當abs（e）>Mmax時，說明誤差的絕對值已經(jīng)很大了，不論誤差變化趨勢如何，都應(yīng)該考慮控制器的輸入應(yīng)按最大（或最小）輸出，以達到迅速調(diào)整誤差的效果，使誤差絕對值以最大的速度減小。此時，相當于實施開環(huán)控制。
當e*ec>0時，說明誤差在朝向誤差絕對值增大的方向變化，此時，如果abs(e)>Mmid，說明誤差也較大，可考慮由控制器實施較強的控制作用，以達到扭轉(zhuǎn)誤差絕對值向減小的方向變化，并迅速減小誤差的絕對值。此時如果abs(e)<Mmid，說明盡管誤差是向絕對值增大的方向變化，但是誤差絕對值本身并不是很大，可以考慮控制器實施一般的控制作用，只需要扭轉(zhuǎn)誤差的變化趨勢，使其向誤差絕對值減小的方向變化即可。
當e*err<0且e*err(k-1)>0或者e=0時，說明誤差的絕對值向減小的方向變化，或者已經(jīng)達到平衡狀態(tài)，此時保持控制器輸出不變即可。
當e*err<0且e*err(k-1)<0時，說明誤差處于極限狀態(tài)。如果此時誤差的絕對值較大，大于Mmin，可以考慮實施較強控制作用。如果此時誤差絕對值較小，可以考慮實施較弱控制作用。
當abs(e)<Mmin時，說明誤差絕對值很小，此時加入積分，減小靜態(tài)誤差。
上面的邏輯判斷過程，實際上就是對于控制系統(tǒng)的一個專家判斷過程。（未完待續(xù)）

PID控制算法的C語言實現(xiàn)十模糊算法簡介
在PID控制算法的C語言實現(xiàn)九中，文章已經(jīng)對模糊PID的實質(zhì)做了一個簡要說明。本來打算等到完成畢業(yè)設(shè)計，工作穩(wěn)定了再著力完成剩下的部分。鑒于網(wǎng)友的要求和信任，抽出時間來，對模糊PID做一個較為詳細的論述，這里我不打算做出仿真程序了，但就基本概念和思路進行一下說明，相信有C語言基礎(chǔ)的朋友可以通過這些介紹性的文字自行實現(xiàn)。這篇文章主要說明一下模糊算法的含義和原理。
  實際上模糊算法屬于智能算法，智能算法也可以叫非模型算法，也就是說，當我們對于系統(tǒng)的模型認識不是很深刻，或者說客觀的原因?qū)е挛覀儫o法對系統(tǒng)的控制模型進行深入研究的時候，智能算法常常能夠起到不小的作用。這點是方便理解的，如果一個系統(tǒng)的模型可以輕易的獲得，那么就可以根據(jù)系統(tǒng)的模型進行模型分析，設(shè)計出適合系統(tǒng)模型的控制器。但是現(xiàn)實世界中，可以說所有的系統(tǒng)都是非線性的，是不可預測的。但這并不是說我們就無從建立控制器，因為，大部分的系統(tǒng)在一定的條件和范圍內(nèi)是可以抽象成為線性系統(tǒng)的。問題的關(guān)鍵是，當我們系統(tǒng)設(shè)計的范圍超出了線性的范圍，我們又該如何處理。顯然，智能算法是一條很不錯的途徑。智能算法包含了專家系統(tǒng)、模糊算法、遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等。其實這其中的任何一種算法都可以跟PID去做結(jié)合，而選擇的關(guān)鍵在于，處理的實時性能不能得到滿足。當我們處理器的速度足夠快速時，我們可以選擇更為復雜的、精度更加高的算法。但是，控制器的處理速度限制了我們算法的選擇。當然，成本是限制處理器速度最根本的原因。這個道理很簡單，51單片機和DSP的成本肯定大不相同。專家PID和模糊PID是常用的兩種PID選擇方式。其實，模糊PID適應(yīng)一般的控制系統(tǒng)是沒有問題。文章接下來將說明模糊算法的一些基本常識。
  模糊算法其實并不模糊。模糊算法其實也是逐次求精的過程。這里舉個例子說明。我們設(shè)計一個倒立擺系統(tǒng)，假如擺針偏差＜5°，我們說它的偏差比較“小”；擺針偏差在5°和10°之間，我們說它的偏差處于“中”的狀態(tài)；當擺針偏差＞10°的時候，我們說它的偏差有點兒“大”了。對于“小”、“中”、“大”這樣的詞匯來講，他們是精確的表述，可問題是如果擺針偏差是3°呢，那么這是一種什么樣的狀態(tài)呢。我們可以用“很小”來表述它。如果是7°呢，可以說它是“中”偏“小”。那么如果到了80°呢，它的偏差可以說“非常大”。而我們調(diào)節(jié)的過程實際上就是讓系統(tǒng)的偏差由非�！按蟆敝饾u向非常“小”過度的過程。當然，我們系統(tǒng)這個調(diào)節(jié)過程是快速穩(wěn)定的。通過上面的說明，可以認識到，其實對于每一種狀態(tài)都可以劃分到大、中、小三個狀態(tài)當中去，只不過他們隸屬的程度不太一樣，比如6°隸屬于小的程度可能是0.3，隸屬于中的程度是0.7，隸屬于大的程度是0。這里實際上是有一個問題的，就是這個隸屬的程度怎么確定？這就要求我們?nèi)ピO(shè)計一個隸屬函數(shù)。詳細內(nèi)容可以查閱相關(guān)的資料，這里沒有辦法那么詳細的說明了。http://baike.baidu.com/view/150383.htm（見附錄3）這里面有些說明。那么，知道了隸屬度的問題，就可以根據(jù)目前隸屬的程度來控制電機以多大的速度和方向轉(zhuǎn)動了，當然，最終的控制量肯定要落實在控制電壓上。這點可以很容易的想想，我們控制的目的就是讓倒立擺從隸屬“大”的程度為1的狀態(tài)，調(diào)節(jié)到隸屬“小”的程度為1的狀態(tài)。當隸屬大多一些的時候，我們就加快調(diào)節(jié)的速度，當隸屬小多一些的時候，我們就減慢調(diào)節(jié)的速度，進行微調(diào)�？蓡栴}是，大、中、小的狀態(tài)是漢字，怎么用數(shù)字表示，進而用程序代碼表示呢？其實我們可以給大、中、小三個狀態(tài)設(shè)定三個數(shù)字來表示，比如大表示用3表示，中用2表示，小用1表示。那么我們完全可以用1*0.3+2*0.7+3*0.0=1.7來表示它，當然這個公式也不一定是這樣的，這個公式的設(shè)計是系統(tǒng)模糊化和精確化的一個過程，讀者也可參見相關(guān)文獻理解。但就1.7這個數(shù)字而言，可以說明，目前6°的角度偏差處于小和中之間，但是更偏向于中。我們就可以根據(jù)這個數(shù)字來調(diào)節(jié)電機的轉(zhuǎn)動速度和時間了。當然，這個數(shù)字與電機轉(zhuǎn)速的對應(yīng)關(guān)系，也需要根據(jù)實際情況進行設(shè)計和調(diào)節(jié)。
前面一個例子已經(jīng)基本上說明了模糊算法的基本原理了�？墒菍嶋H上，一個系統(tǒng)的限制因素常常不是一個。上面的例子中，只有偏差角度成為了系統(tǒng)調(diào)節(jié)的參考因素。而實際系統(tǒng)中，比如PID系統(tǒng)，我們需要調(diào)節(jié)的是比例、積分、微分三個環(huán)節(jié)，那么這三個環(huán)節(jié)的作用就需要我們認清，也就是說，我們需要根據(jù)超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間、震蕩情況等信息來考慮對這三個環(huán)節(jié)調(diào)節(jié)的比重，輸入量和輸出量都不是單一的，可是其中必然有某種內(nèi)在的邏輯聯(lián)系。所以這種邏輯聯(lián)系就成為我們設(shè)計工作的重點了。下一篇文章將詳細分析PID三個變量和系統(tǒng)性能參數(shù)之間的聯(lián)系。

PID控制算法的c語言實現(xiàn)十一（PID系列完結(jié)篇）模糊PID的參數(shù)整定
這幾天一直在考慮如何能夠把這一節(jié)的內(nèi)容說清楚，對于PID而言應(yīng)用并沒有多大難度，按照基本的算法設(shè)計思路和成熟的參數(shù)整定方法，就算是沒有經(jīng)過特殊訓練和培訓的人，也能夠在較短的時間內(nèi)容學會使用PID算法。可問題是，如何能夠透徹的理解PID算法，從而能夠根據(jù)實際的情況設(shè)計出優(yōu)秀的算法呢。
  通過講述公式和基本原理肯定是最能說明問題的，可是這樣的話怕是犯了“專家”的錯誤了。對于門檻比較低的技術(shù)人員來講，依然不能透徹理解。可是說的入耳了，能不能透徹說明也是一個問題，所以斟酌了幾天，整理了一下思路才開始完成PID系列文章的最后一篇。
  我所說的最后一篇不代表PID的功能和發(fā)展就止步與此，僅僅是說明，透過這一些列的文章，基本上已經(jīng)可以涵蓋PID設(shè)計的要點，至于更深入的研究，就交給有需要的讀者去做。
上一節(jié)中大致講述了一下模糊算法。實際上模糊算法的很多概念在上一節(jié)中并沒有深入的解釋。舉的例子也只是為了說明模糊算法的基本含義，真正的模糊算法是不能這么設(shè)計的，當然也不會這么簡單。模糊算法的核心是模糊規(guī)則，如果模糊規(guī)則制定的出色，那么模糊算法的控制效率就高。其實這是智能算法的一般特性，規(guī)則是系統(tǒng)判斷和處理的前提。那么就說說PID的規(guī)則該怎么制定。
我們知道，模糊算法的本質(zhì)是對PID的三個參數(shù)進行智能調(diào)節(jié)。那么首先要提出的問題是如何對PID的參數(shù)進行調(diào)節(jié)？這個問題其實是參數(shù)整定的問題，現(xiàn)實當中有很多整定方法�？墒俏覀冃枰獜母旧狭私鉃槭裁催@么整定，才能知道該如何建立數(shù)學模型進行分析。那么要回答如何整定參數(shù)的問題，就需要先明白PID參數(shù)的作用都是什么？對系統(tǒng)有什么影響？
  我們從作用和副作用兩個方面說明參數(shù)對系統(tǒng)的影響。
1.比例環(huán)節(jié)Kp，作用是加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，提高系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度，副作用是會導致超調(diào);
2.積分環(huán)節(jié)Ki，作用是消除穩(wěn)態(tài)誤差，副作用是導致積分飽和現(xiàn)象;
3.微分環(huán)節(jié)Kd，作用是改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，副作用是延長系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間。
  理解了上述問題，那么就可以“辯證施治，對癥下藥”了。比如說，如果系統(tǒng)響應(yīng)速度慢，我們就加大Kp的取值，如果超調(diào)量過大我們就減小Kp的取值等等�？墒菃栴}這些語言的描述該如何用數(shù)學形式表達出來呢。我們所知道的，反饋系統(tǒng)的實質(zhì)就是系統(tǒng)的輸出量作為反饋量與系統(tǒng)的輸入量進行作差，從而得到系統(tǒng)的誤差e，那么這個誤差e就能夠反應(yīng)目前系統(tǒng)所處的狀態(tài)。誤差e可以表明目前系統(tǒng)的輸出狀態(tài)到底偏離要求多少。而誤差e的變化律ec，表示誤差變化的速度。這樣，我們可以根據(jù)這兩個量的狀態(tài)來分析三個參數(shù)此時應(yīng)該如何取值，假如e為負方向比較大，ec也為負方向增大狀態(tài)，此時比例環(huán)節(jié)要大一些，從而加快調(diào)節(jié)速度，而積分環(huán)節(jié)要小一些，甚至不加積分環(huán)節(jié)，從而防止負方向上出現(xiàn)飽和積分的現(xiàn)象。微分環(huán)節(jié)可以稍加一些，在不影響調(diào)節(jié)時間的情況下，起到改善系統(tǒng)動態(tài)性能的作用。

附錄1
看到有不少人問到底如何讓UK值與PWM占空比值對應(yīng)，進而實現(xiàn)占空比輸出和輸出控制電壓對應(yīng)。
（注意，我這里討論的前提是輸出控制的是電壓，不是PWM方波。PWM輸出后要經(jīng)過濾波整形再輸出控制。）
前提條件：
輸出電壓控制電壓范圍是0-10V。
給定、反饋、輸出電壓采樣輸入電壓范圍是0-5V（經(jīng)過運放）。
使用單片機AD為10位AD芯片。
那么10位AD芯片電壓采集得到的數(shù)據(jù)范圍就是0-1024。
PWM為 8位可調(diào)占空比方波，0對應(yīng)輸出占空比為0的方波，255對應(yīng)輸出占空比100%的方波，127對應(yīng)輸出50%的方波。
比如當前給定是2.5V，反饋電壓是1V。（KP,KI,KD等系數(shù)略，關(guān)于PID算法的整數(shù)實現(xiàn)我在前文中有論述如何實現(xiàn)）。
那么經(jīng)過AD采樣
1、給定2.5V對應(yīng)為 512
2、反饋1V對應(yīng)為 205
假定經(jīng)過PID計算得到的UK為400
也就意味著輸出電壓應(yīng)當為（400*（UPWM峰值電壓））/1024
那么UK對應(yīng)的PWM占空比是多少呢？
我們知道，UK=1024對應(yīng)占空比為100，也就是PWM的占空比系數(shù)為255�？芍琍WM系數(shù) = UK/4;
那么400就應(yīng)當對應(yīng)系數(shù) 400/4=100。
也就是輸出電壓=400*10/1024=3.9V
同時，由于采樣精度以及PWM輸出占空比精度控制的問題，將導致輸出電壓和期望值不是那么線性，所以，我在項目內(nèi)加入了輸出電壓采樣的控制。
采樣AD輸入為0-5V，所以，對于輸出0-10V有一個縮小的比例。
輸出10V則采樣值對應(yīng)為255
輸出5V則采樣之對應(yīng)127
可知，3.9V對應(yīng)AD結(jié)果為97
采樣輸出電壓值，可以針對性的調(diào)整一下占空比輸出，從而得到誤差允許范圍內(nèi)的一個控制輸出電壓。
同時，經(jīng)過一些加速控制的手段�？梢员容^迅速的達到控制的目的。
下文中的UK控制方法是針對增量式PID控制而來做的。
/****************************************************/
void PWMProcess(void)
{
uint16 idata temp;
uint16 idata UKTemp;
temp = 0;
UKTemp = 0;
if( Pwm.ChangeFlag_Uint8 != 0 ) //判斷是否需要改變占空比
{                //是否需要改變占空比和你的被控系統(tǒng)特性有關(guān)
   Pwm.ChangeFlag_Uint8 = 0;
  UKTemp = PID.Uk_Uint16 + SwIn.AddValue_Uint16;
//計算UK控制量
//控制量和計算值以及一個開關(guān)量有關(guān)，我這里的開關(guān)量是系統(tǒng)需要的時候疊加在控制量上的一個變量。
  if(UKTemp>999)
  {
         UKTemp = 999;
  }
//這里只所以是999封頂而不是1024是因為我的系統(tǒng)PWM的峰值電壓是12V導致。
      while(1)                      //如果輸出電壓和期望電壓相差 Delta，則繼續(xù)調(diào)整占空比，直到在誤差以內(nèi)
      {
   ADChPro(UPWMADCH);       //測量輸出電壓
if( ADPool.Value_Uint16[UPWMADCH] == UKTemp)
{
            return;
}
if( ADPool.Value_Uint16[UPWMADCH] > UKTemp) //如果當前電壓大于輸出電壓，減小占空比
{
   if( ( ADPool.Value_Uint16[UPWMADCH] - UKTemp ) > UDELTA )
{
      temp = ADPool.Value_Uint16[UPWMADCH] - UKTemp;  //
   temp = temp / 2;    //下降可以加速下降，所以下降參數(shù)加倍
   if( Pwm.DutyCycle_Uint8 > temp )
   {
                     Pwm.DutyCycle_Uint8 = Pwm.DutyCycle_Uint8 - temp;
   }
   else
   {
                     Pwm.DutyCycle_Uint8 = 0;
   }
}
else
{
                  return;
}
}
else          //如果當前電壓小于輸出電壓
{
   if( ( UKTemp - ADPool.Value_Uint16[UPWMADCH] ) > UDELTA )
{
      temp = UKTemp - ADPool.Value_Uint16[UPWMADCH];
   temp = temp / 4;  //上升處理不要超調(diào)，所以每次只+一半
   if( (255-Pwm.DutyCycle_Uint8) > temp )
   {
                     Pwm.DutyCycle_Uint8 += (temp/2);
   }
   else
   {
                     Pwm.DutyCycle_Uint8 = 255;
   }
}
else
{
                  return;
}
}
         DisPlayVoltage();
         PWMChangeDuty(Pwm.DutyCycle_Uint8);  //改變占空比
Delay(10,10);

      }
}
}
/*****************************************************/

附錄2
直流電機PWM調(diào)速系統(tǒng)中控制電壓非線性研究
引言
由于線性放大驅(qū)動方式效率和散熱問題嚴重，目前絕大多數(shù)直流電動機采用開關(guān)驅(qū)動方式。開關(guān)驅(qū)動方式是半導體功率器件工作在開關(guān)狀態(tài)，通過脈寬調(diào)制PWM控制電動機電樞電壓，實現(xiàn)調(diào)速。目前已有許多文獻介紹直流電機調(diào)速，宋衛(wèi)國等用89C51單片機實現(xiàn)了直流電機閉環(huán)調(diào)速；張立勛等用AVR單片機實現(xiàn)了直流電機PWM調(diào)速；郭崇軍等用C8051實現(xiàn)了無刷直流電機控制；張紅娟等用PIC單片機實現(xiàn)了直流電機PWM調(diào)速；王晨陽等用DSP實現(xiàn)了無刷直流電機控制。上述文獻對實現(xiàn)調(diào)速的硬件電路和軟件流程的設(shè)計有較詳細的描述，但沒有說明具體的調(diào)壓調(diào)速方法，也沒有提及占空比與電機端電壓平均值之間的關(guān)系。在李維軍等基于單片機用軟件實現(xiàn)直流電機PWM調(diào)速系統(tǒng)中提到平均速度與占空比并不是嚴格的線性關(guān)系，在一般的應(yīng)用中，可以將其近似地看作線性關(guān)系。但沒有做深入的研究。本文通過實驗驗證，在不帶電機情況下，PWM波占空比與控制輸出端電壓平均值之間呈線性關(guān)系；在帶電機情況下，占空比與電機端電壓平均值滿足拋物線方程，能取得精確的控制。本文的電機閉環(huán)調(diào)速是運用Matlab擬合的關(guān)系式通過PID控制算法實現(xiàn)。
1 系統(tǒng)硬件設(shè)計
本系統(tǒng)是基于TX-1C實驗板上的AT89C52單片機，調(diào)速系統(tǒng)的硬件原理圖如圖1所示，主要由AT89C52單片機、555振蕩電路、L298驅(qū)動電路、光電隔離、霍爾元件測速電路、MAX 232電平轉(zhuǎn)換電路等組成。

圖1 閉環(huán)控制系統(tǒng)示意圖
2 系統(tǒng)軟件設(shè)計
系統(tǒng)采用模塊化設(shè)計，軟件由1個主程序，3個中斷子程序，即外部中斷0、外部中斷1，定時器0子程序，PID算法子程序，測速子程序及發(fā)送數(shù)據(jù)到串口顯示子程序組成，主程序流程圖如圖2所示。外部中斷0通過比較直流電平與鋸齒波信號產(chǎn)生PWM波，外部中斷1用于對傳感器的脈沖計數(shù)。定時器0用于對計數(shù)脈沖定時。測得的轉(zhuǎn)速通過串口發(fā)送到上位機顯示，通過PID模塊調(diào)整轉(zhuǎn)速到設(shè)定值。本實驗采用M／T法測速，它是同時測量檢測時間和在此檢測時間內(nèi)霍爾傳感器所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)速脈沖信號的個數(shù)來確定轉(zhuǎn)速。由外部中斷1對霍爾傳感器脈沖計數(shù)，同時起動定時器0，當計數(shù)個數(shù)到預定值2 000后，關(guān)定時器0，可得到計2 000個脈沖的計數(shù)時間，由式計算出轉(zhuǎn)速：
n=60f／K=60N／(KT) (1)
式中：n為直流電機的轉(zhuǎn)速；K為霍爾傳感器轉(zhuǎn)盤上磁鋼數(shù)；f為脈沖頻率；N為脈沖個數(shù)；T為采樣周期。

圖2 主程序流程圖
3 實驗結(jié)果及原因分析
3．1 端電壓平均值與轉(zhuǎn)速關(guān)系
3．1．1 實驗結(jié)果
實驗用的是永磁穩(wěn)速直流電機，型號是EG-530YD-2BH，額定轉(zhuǎn)速2 000～4 000 r／min，額定電壓12 V。電機在空載的情況下，測得的數(shù)據(jù)用Matlab做一次線性擬合，擬合的端電壓平均值與轉(zhuǎn)速關(guān)系曲線如圖3(a)所示。相關(guān)系數(shù)R-square：0．952 1。擬合曲線方程為：
y=0．001 852x+0．296 3 (2)
由式(2)可知，端電壓平均值與轉(zhuǎn)速可近似為線性關(guān)系，根椐此關(guān)系式，在已測得的轉(zhuǎn)速的情況下可以計算出當前電壓。為了比較分析，同樣用Matlab做二次線性擬合，擬合的端電壓平均值與轉(zhuǎn)速關(guān)系曲線如圖3(b)所示。相關(guān)系數(shù)R-square：0．986 7。

圖3 端電壓平均值與轉(zhuǎn)速關(guān)系曲線圖
3．1．2 原因分析
比較圖3(a)可知，當轉(zhuǎn)速在0～1 500 r／min和4 000～5 000 r／min，端電壓平均值與轉(zhuǎn)速間存在的非線性，用二次曲擬合如圖3(b)所示，擬合相關(guān)系數(shù)較高。由圖3(a)可見，當電機轉(zhuǎn)速為0時電機兩端電壓平均值約為1．3 V。這是因為電機處于靜止狀態(tài)時，摩擦力為靜摩擦力，靜摩擦力是非線性的。隨著外力的增加而增加，最大值發(fā)生在運動前的瞬間。電磁轉(zhuǎn)矩為負載制動轉(zhuǎn)矩和空載制動轉(zhuǎn)矩之和，由于本系統(tǒng)不帶負載，因此電磁轉(zhuǎn)矩為空載制動轉(zhuǎn)矩�？蛰d制動轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速之間此時是非線性的。電磁轉(zhuǎn)矩與電流成正比，電流又與電壓成正比，因此此時電壓與轉(zhuǎn)速之間是非線性的。
當轉(zhuǎn)速在2 000～4 000 r／min線性關(guān)系較好，占空比的微小改變帶來的轉(zhuǎn)速改變較大，因此具有較好的調(diào)速性能。這是因為隨著運動速度的增加，摩擦力成線性的增加，此時的摩擦力為粘性摩擦力。粘性摩擦是線性的，與速度成正比，空載制動轉(zhuǎn)矩與速度成正比，也即電磁轉(zhuǎn)矩與電流成正比，電流又與電壓成正比，因此此時電壓與轉(zhuǎn)速之間是線性的。當轉(zhuǎn)速大于4 000 r／min。由于超出了額定轉(zhuǎn)速所以線性度較差且調(diào)速性能較差。此時用二次曲線擬合結(jié)果較好，因為當電機高速旋轉(zhuǎn)時，摩擦阻力小到可以忽略，此時主要受電機風阻型負荷的影響，當運動部件在氣體或液體中運動時，其受到的摩擦阻力或摩擦阻力矩被稱為風機型負荷。對同一物體，風阻系數(shù)一般為固定值。阻力大小與速度的平方成正比。即空載制動轉(zhuǎn)矩與速度的平方成正比，也即電磁轉(zhuǎn)矩與速度的平方成正比，電磁轉(zhuǎn)矩與電流成正比，電流又與電壓成正比，因此此時電壓與轉(zhuǎn)速之間是非線性的。
　3．2 占空比與端電壓平均值關(guān)系
3．2．1 實驗結(jié)果
擬合占空比與端電壓平均值關(guān)系曲線如圖4所示。相關(guān)系數(shù)R-square：0．998 4。擬合曲線方程為：

圖4 占空比與端電壓平均值關(guān)系曲線圖
如圖4所示，占空比與端電壓平均值滿足拋物線方程。運用積分分離的PID算法改變電機端電壓平均值，可以運用此關(guān)系式改變占空比，從而實現(xiàn)了PWM調(diào)速。
用示波器分別測出電壓的頂端值Utop與底端值Ubase，端電壓平均值Uarg滿足關(guān)系式：

其中：α為占空比。
正是由于所測得的電機端電壓底端值Ubase不為0，所以得出的占空比與端電壓平均值之間關(guān)系曲線為拋物線。若將電機取下，直接測L298的out1與out2輸出電壓。所測得的電機端電壓底端值Ubase約為0，所得的占空比與端電壓平均值滿足線性關(guān)系，即令式(4)中Ubase為0，式(4)變?yōu)椋?/font>

3．2．2 原因分析
將電機取下后，直接測L298的輸出端之間的電壓，占空比與端電壓平均值滿足關(guān)系式(5)，說明整個硬件電路的設(shè)計以及軟件編程的正確性。從電機反電勢角度分析，當直流電機旋轉(zhuǎn)時，電樞導體切割氣隙磁場，在電樞繞組中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。由于感應(yīng)電動勢方向與電流的方向相反，感應(yīng)電動勢也即反電勢。直流電機的等效模型如圖5所示。圖5(a)表示電機工作在電動機狀態(tài)。圖5(b)表示電機工作在發(fā)電機狀態(tài)。

圖5 直流電機等效電路
如圖5(a)所示，電壓平衡方程為：

式中：U為外加電壓；Ia為電樞電流；Ra為電樞繞組電阻；2△Ub為一對電刷接觸壓降，一般取2△Ub為0．5～2 V；Ea為電樞繞組內(nèi)的感應(yīng)電動勢。電機空載時，電樞電流可忽略不計，即電流Ia為0。空載時的磁場由主磁極的勵磁磁動勢單獨作用產(chǎn)生。給電機外加12 V的額定電壓，由(6)可得反電勢：

以40％的占空比為例，電機端電壓Uab是測量中的電壓平均值Uarg，其值為8．34 V，測量中的電壓底端值Ubase約為7 V。由式(7)可得Ea的值范圍應(yīng)在6．34～7．84 V。由圖5(b)可見，此時Uab的值是測得的底端值Ubase即電機的電動勢Ea為7 V。
當PWM工作在低電平狀態(tài)，直流電機不會立刻停止，會繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，電樞繞組切割氣隙磁場，電機此時工作在發(fā)電機狀態(tài)，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢E。

式中：Ce為電機電動勢常數(shù)；φ為每級磁通量。由于電機空載，所以圖5(b)中無法形成回路。用單片機仿真軟件Proteus可直觀的看出在PWM為低電平狀態(tài)，電機處于減速狀態(tài)。低電平持續(xù)時間越長，電機減速量越大。正是由于在低電平期間，電機處于減速狀態(tài)，由式(8)可知，Ce，φ均為不變量，轉(zhuǎn)速n的變化引起E的改變。此時Uab的值等于E的值。電機在低電平期間不斷的減速，由于PWM周期較短，本文中取20 ms，電機在低電平期間轉(zhuǎn)速還未減至0，PWM又變?yōu)楦唠娖搅恕＿@樣，就使測得的Ubase值不為0。以40％的占空比為例，當PWM工作在低電平狀態(tài)，測得Ubase的值約為7 V。由式(8)可知，當正占空比越大，轉(zhuǎn)速也就越大，同時減速時間越短，感應(yīng)電勢E的值越大。所以Ubase的值也就越大。
4 結(jié)語
重點分析了直流電機PWM調(diào)速過程中控制電壓的非線性，對非線性的影響因素做了詳細的分析。由于PWM在低電平期間電壓的底端值不為0，導致了占空比與電機端電壓平均值之間呈拋物線關(guān)系。因此，可用得出的拋物線關(guān)系式實現(xiàn)精確調(diào)速。本系統(tǒng)的非線性研究可為電機控制中非線性的進一步研究提供依據(jù)，在實際運用中，可用于移動機器人、飛行模擬機的精確控制。

附錄3隸屬函數(shù)(membership function)，用于表征模糊集合的數(shù)學工具。對于普通集合A，它可以理解為某個論域U上的一個子集。為了描述論域U中任一元素u是否屬于集合A，通�？梢杂�0或1標志。用0表示u不屬于A，而用1表示屬于A ，從而得到了U上的一個二值函數(shù)χA（u），它表征了U的元素u對普通集合的從屬關(guān)系，通常稱為A的特征函數(shù)，為了描述元素u對U上的一個模糊集合的隸屬關(guān)系，由于這種關(guān)系的不分明性，它將用從區(qū)間[0，1]中所取的數(shù)值代替0，1這兩值來描述，記為（u），數(shù)值（u）表示元素隸屬于模糊集的程度，論域U上的函數(shù)μ即為模糊集的隸屬函數(shù)，而（u）即為u對A的隸屬度。

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