詳解卡爾曼濾波算法C語言實現(xiàn)

卡爾曼濾波算法及C語言實現(xiàn)

摘要：本文著重討論了卡爾曼濾波器的原理，典型算法以及應用領(lǐng)域。清晰地闡述了kalman filter在信息估計方面的最優(yōu)性能。著重介紹簡單kalman filter algorithm的編程，使用kalman filter的經(jīng)典5個體現(xiàn)最優(yōu)化遞歸公式來編程。通過c語言編寫程序?qū)崿F(xiàn)kalman filter的最優(yōu)估計能力。

1 引言

Kalman Filter是一個高效的遞歸濾波器，它可以實現(xiàn)從一系列的噪聲測量中，估計動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。起源于Rudolf Emil Kalman在1960年的博士論文和發(fā)表的論文《A New Approach to Linear Eiltering and Prediction Problems》（《線性濾波與預測問題的新方法》）。并且最先在阿波羅登月計劃軌跡預測上應用成功，此后kalman filter取得重大發(fā)展和完善。它的廣泛應用已經(jīng)超過30年，包括機器人導航，控制。傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷達系統(tǒng)以及導彈追蹤等等，近年來更被廣泛應用于計算機圖像處理，例如頭臉識別，圖像分割，圖像邊緣檢測等等。

2 kalman filter最優(yōu)化遞歸估計

Kalman filter是一個“optimal recursive data processing algorithm（最優(yōu)化遞歸數(shù)據(jù)處理方法）”。對于解決很大部分的問題，他是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的方法。而kalman filter最為核心的內(nèi)容是體現(xiàn)它最優(yōu)化估計和遞歸特點的5條公式。舉一個例子來詳細說明5條公式的物理意義。

假設(shè)我們要研究的對象是某一個房間的溫度信號。對于室溫來說，一分鐘內(nèi)或一小段時間內(nèi)的值是基本上不變的或者變化范圍很小。也就是說時刻的溫度和時刻的溫度基本不變，即。在這個過程中，因為畢竟溫度還是有所改變的，設(shè)有幾度的偏差。我們把這幾度的偏差看成是高斯白噪聲，也就是說，。除此之外我們在用一個溫度計來實時測量房間的溫度值，但由于量具本身的誤差，所測得的溫度值也是不準確的，也會和實際值偏差幾度，把這幾度的偏差看成是測量噪聲。即滿足，。

此時我們對于這個房間的溫度就得到了兩個數(shù)據(jù)。一個是你根據(jù)經(jīng)驗得到的經(jīng)驗值，一個是從溫度計上得到的測量值，以及各自引入的高斯白噪聲。下面就具體講解kalman filter來估計房間溫度的原理與步驟。

要估計K時刻的實際溫度值，首先要根據(jù)K-1時刻的溫度值預測K時刻的溫度，按照之前我們討論的，若k-1時刻的溫度值是，那么預測此時的，假如該值的噪聲是，5°是這樣得到的，若果k-1時刻估算出的最優(yōu)溫度值的噪聲是，預測的噪聲是，所以總體的噪聲為。此時再從溫度計上得到K時刻的溫度值為，設(shè)該測量值的噪聲是。

現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)問題了，在k時刻我們就有了兩個溫度值和，要信那個呢，簡單的求平均已經(jīng)不能滿足精度的要求了。我們可以用他們的協(xié)方差covariance來判斷。協(xié)方差本身就能體現(xiàn)兩個信號的相關(guān)性，通過它就能判斷到底真值更逼近于預測值還是測量值。引入kalman gain（），有公式計算，

      ……（1）

所以=0.78。我們可以估算出K時刻的實際溫度值是，

   ……（2）

可以看出這個值接近于溫度計測量到的值，所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計的值。

這時我們已經(jīng)得到了K時刻的最優(yōu)溫度值，接下來估計K+1時刻的最優(yōu)溫度值。既然kalman filter是一個最優(yōu)化的遞歸處理方法，那么遞歸就體現(xiàn)在該算法的一個核心參數(shù)上，由公式（1）的算法可知每次計算時的是不一樣的。這樣我們要估計K+1時刻的最優(yōu)溫度值，就得先算出K時刻的，然后才能利用公式（2）估計K+1時刻的最優(yōu)溫度值。由此可以看出我們只需知道初始時刻的值和它所對應的協(xié)方差以及測量值，就可以進行kalman估計了。

3Kalman Filter Algorithm

首先以一個離散控制過程為例討論kalman filter algorithm。該系統(tǒng)可用一個線性微分方程來描述。

……（3）

……（4）

（3）式和（4）式中，是K時刻的系統(tǒng)狀態(tài)，是K時刻對系統(tǒng)的控制量，A和B是系統(tǒng)參數(shù)，對于多模型系統(tǒng)，它們?yōu)榫仃嚒?img id="aimg_rOgJ9" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" class="zoom" width="36" height="21" src="http://c.51hei.com/a/huq/a/a/c/23/23.038.jpg" border="0" alt="" />是K時刻的測量值，H是測量系統(tǒng)的參數(shù)，對于多測量系統(tǒng)，H為矩陣。和分別表示系統(tǒng)和測量過程中的噪聲，使用kalman filter估計時，我們認為噪聲滿足高斯白噪聲模型，設(shè)和的covariance分別為Q和R。

討論kalman filter algorithm的5個經(jīng)典核心公式。

第一步，預測現(xiàn)在的狀態(tài)：

        ……（5）

式（5）中是利用上一狀態(tài)預測的結(jié)果，是上一時刻的最優(yōu)預測值，為現(xiàn)在狀態(tài)的控制量，如果沒有，可以為0。

經(jīng)過公式（5）后系統(tǒng)結(jié)果已經(jīng)更新了，對應于 的covariance還沒有更新，用P表示covariance，

           ……（6）

式（6）中是對應的covariance，是對應的covariance，是的轉(zhuǎn)置矩陣。Q是系統(tǒng)的噪聲，（5）和（6）式便是kalman filter中的前兩個公式。對系統(tǒng)的預測。有了系統(tǒng)的預測，接下來就要參考測量值進行估計了。

    ……（7）

由上面分析可知為了實現(xiàn)遞歸，每次的都是實時更新的。

       ……（8）

           ……（9）

這樣每次和都需要前一時刻的值來更新，遞歸的估計下去。（5）~（9）式便是kalman filter algorithm的五條核心公式。

4 利用C語言編程實現(xiàn)Kalman Filter Algorithm

要求是給定一個固定量，然后由測量值來使用kalman filter估計系統(tǒng)真實值。

為了編程簡單，我將（5）式中的A=1，=0，（5）式改寫為下面的形式，

               ……（10）

式（6）改寫為，

               ……（11）

再令H=1，式（7），（8），（9）可改寫為，

       ……（12）

          ……（13）

             ……（14）

使用C語言編程實現(xiàn)（核心算法）。

                            x_mid=x_last;    //x_last=x(k-1|k-1),x_mid=x(k|k-1)

                            p_mid=p_last+Q;  //p_mid=p(k|k-1),p_last=p(k-1|k-1),Q=噪聲

                            kg=p_mid/(p_mid+R); //kg為kalman filter，R為噪聲

                            z_measure=z_real+frand()*0.03;//測量值

                            x_now=x_mid+kg*(z_measure-x_mid);//估計出的最優(yōu)值

                            p_now=(1-kg)*p_mid;//最優(yōu)值對應的covariance

        p_last = p_now;  //更新covariance值

        x_last = x_now;  //更新系統(tǒng)狀態(tài)值

5 算法測試

為了測試kalman filter algorithm，我設(shè)計了一個簡單實驗，來驗證kalman filter的優(yōu)良性。程序中給定一個初值，然后給定一組測量值，驗證kalman filter估值的準確性。

根據(jù)kalman filter algorithm，我們需要給定系統(tǒng)初始值x_last，系統(tǒng)噪聲Q和測量噪聲R，以及初始值所對應的協(xié)方差P_last。為了驗證優(yōu)劣性，還需要給定真實值z_real來計算kalman filter誤差error_kalman以及測量誤差error_measure以及它們在有限次的計算中的累積誤差，累積kalman誤差sumerror_kalman和累積測量誤差sumerror_measure。

實驗中給定x_last=0，p_last=0,Q=0.018,R=0.0542.實驗中可以通過適當改變Q和R來獲得更好的估計結(jié)果。也可以改變p_last和x_last的值，由于kalman filter是對協(xié)方差的遞歸算法來估計信號數(shù)據(jù)的，所以p_last對算法結(jié)果的影響很大，圖3就說明了這一情況，由于在初始時就有協(xié)方差，所以在運行過程中算法累積誤差相比初始時沒有誤差的就比較大。

給定值為z_real=0.56時運行結(jié)果如圖1所示：

給定值z_real=3.32時的運行結(jié)果如圖2

圖3為Q，R不變，p_last=0.02，x_last=0，z_real=0.56時的測試結(jié)果。通過和前兩次結(jié)果比較發(fā)現(xiàn)p_last對估計結(jié)果影響較大，分析可知這種現(xiàn)象是符合kalman filter的，通過改變Q和R的值也能改善算法的性能，但是實際操作中我們并不能控制這兩個量。

6 結(jié)論

本文通過對kalman filter algorithm的深入探討，對kalman filter有了更深刻的認識，理解了核心的5條公式的物理意義，以及kalman filter的思想，并通過理解算法編程實踐，驗證了kalman filter在數(shù)據(jù)處理方面的優(yōu)良性能。

并且通過實驗結(jié)果分析了kalman filter algorithm的本質(zhì)對每次估計產(chǎn)生的協(xié)方差遞歸結(jié)合當前測量值來估計系統(tǒng)當前的最佳狀態(tài)。如要改善算法的性能就必須要盡可能的減小系統(tǒng)噪聲和測量噪聲，優(yōu)化程序，減小估計的協(xié)方差。

參考文獻

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2018-12-14 11:09 上傳

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