基于PID調(diào)節(jié)的根軌跡倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)(MATLAB仿真)

MATLAB是Math Works公司開發(fā)的，目前國(guó)際上最流行，應(yīng)用最廣泛的科學(xué)與工程計(jì)算軟件。MATLAB又稱為“矩陣實(shí)驗(yàn)室”，其強(qiáng)項(xiàng)就是高效的矩陣計(jì)算。MATLAB集成了二維和三維圖形功能,以完成相應(yīng)數(shù)值可視化的工作，并且提供了一種交互式的高級(jí)編程語(yǔ)言—M語(yǔ)言，利用M明天。語(yǔ)言可以通過(guò)編寫腳本或者函數(shù)文件實(shí)現(xiàn)用戶自己的算法。

Simulink是基于MATLAB的框圖設(shè)計(jì)環(huán)境，可以用來(lái)對(duì)各種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行建模分析和仿真。Simulink提供了利用鼠標(biāo)拖拽的方法建立系統(tǒng)框圖模型的圖形界面，而且Simulink還提供了豐富的功能塊和不同的專業(yè)模塊集合，利用Simulink幾乎可以做到不書寫一行代碼完成整個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模工作。

倒立擺是自動(dòng)控制領(lǐng)域典型的控制對(duì)象，為眾多研究人員驗(yàn)證控制理論及算法所采用。本實(shí)驗(yàn)的便攜式倒立擺系統(tǒng)，是一個(gè)具有多控制對(duì)象、模塊化、多實(shí)驗(yàn)環(huán)境、拆裝方便等特點(diǎn)的典型對(duì)象。近年來(lái)，新的控制方法不斷出現(xiàn)，人們?cè)噲D通過(guò)倒立擺這樣一個(gè)典型的控制對(duì)象，檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理多變量、非線性和絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)的能力，從而從中找出最優(yōu)秀的控制方法。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中的一種比較理想的實(shí)驗(yàn)手段，為自動(dòng)控制理論的教學(xué)、實(shí)驗(yàn)和科研構(gòu)建一個(gè)良好的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，以用來(lái)檢驗(yàn)?zāi)撤N控制理論和方法的典型方案，促進(jìn)了控制系統(tǒng)新理論、新思想的發(fā)展。

由于控制理論的廣泛應(yīng)用，由此系統(tǒng)研究產(chǎn)生的方法和技術(shù)將在半導(dǎo)體及精密儀器加工、機(jī)器人控制技術(shù)、人工智能、導(dǎo)彈攔截控制系統(tǒng)、航空對(duì)決控制技術(shù)、火箭發(fā)射中的垂直度控制、衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制和一般工業(yè)應(yīng)用等方面具有廣闊的利用開發(fā)前景。

直線一級(jí)倒立擺由直線運(yùn)動(dòng)模塊和一級(jí)擺體組件組成，是最常見的倒立擺之一。該系統(tǒng)相對(duì)其他倒立擺較為簡(jiǎn)單，但能體現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)控制的基本思想，故主要針對(duì)直線一級(jí)倒立擺進(jìn)行設(shè)計(jì)。

倒立擺的控制目標(biāo)：倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快的達(dá)到一個(gè)平衡位置，并且使之沒有大的振蕩和過(guò)大的角度和速度。當(dāng)擺桿達(dá)到期望的位置后，系統(tǒng)能克服隨機(jī)擾動(dòng)而保持穩(wěn)定的位置。

倒立擺控制系統(tǒng)輸出為擺桿角度和小車位置，通過(guò)對(duì)控制對(duì)象設(shè)計(jì)合適的校正環(huán)節(jié)，使得擺桿起擺后保持穩(wěn)擺，設(shè)計(jì)方式有跟軌跡法、頻域法、PID法，串聯(lián)校正方式又有超前校正、滯后矯正、滯后—超前矯正。不同分析方式的特點(diǎn)選擇合適校矯正方法，設(shè)計(jì)合適的控制器，使系統(tǒng)滿足相應(yīng)的指標(biāo)。本設(shè)計(jì)主要是采用根軌跡法和PID法。

旋轉(zhuǎn)編碼器是一種角度傳感器，它分為光電式、接觸式和電磁感應(yīng)式三種。我們?cè)陂]環(huán)系統(tǒng)中常用光電式編碼器來(lái)測(cè)角度。旋轉(zhuǎn)編碼器有增量編碼器和絕對(duì)編碼器兩種，它由發(fā)光元件、光電碼盤、光敏元件和光電檢測(cè)裝置組成。由于光電式脈沖編碼盤每轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)分辨角就發(fā)出一個(gè)脈沖信號(hào)，因此，根據(jù)脈沖數(shù)目可得出工作軸的回轉(zhuǎn)角度，由傳動(dòng)比換算出直線位移距離；根據(jù)脈沖頻率可得工作軸的轉(zhuǎn)速；根據(jù)、兩相信號(hào)的相位先后，可判斷光電碼盤的正、反轉(zhuǎn)，以得到待測(cè)裝置轉(zhuǎn)向。

由于光電編碼器輸出的檢測(cè)信號(hào)是數(shù)字信號(hào)，因此可以直接進(jìn)入計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理，不需放大和轉(zhuǎn)換等過(guò)程，使用非常方便，因此應(yīng)用越來(lái)越廣泛。

由于狀態(tài)反饋要求被控系統(tǒng)是一個(gè)線性系統(tǒng)，而倒立擺系統(tǒng)本身是一個(gè)非線性的系統(tǒng)，因此用狀態(tài)反饋來(lái)控制倒立擺系統(tǒng)，首先要將這個(gè)非線性系統(tǒng)近似成為一個(gè)線性系統(tǒng)。在忽略了空氣流動(dòng)和各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)。

圖2.1 直線一級(jí)倒立擺運(yùn)動(dòng)示意圖

M 小車質(zhì)量

m 擺桿質(zhì)量

b 小車摩擦系數(shù)

l   擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度

I 擺桿慣量

F 加在小車上的力

x 小車位置

擺桿與垂直向上方向的夾角

擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）

圖2.2 小車受力圖                           圖2.3 擺桿受力圖

圖2.2和圖2.3是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中N 和P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量，圖示方向?yàn)槭噶空�方向�?/p>

分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程:

                       （1）

由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式:

              （2）

即：              （3）

把這個(gè)等式代入(1)式中，就得到系統(tǒng)的水平方向運(yùn)動(dòng)方程:

                 （4）

對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到：

                 （5）

                 （6）

力矩平衡方程：

                            （7）

合并式（6）、（7）消去P和N得到第二個(gè)方程：

           （8）

設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即<<1，則可以進(jìn)行近似處理:

                    （9）

用u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下:                                 

                      (10)

    對(duì)方程組(9)式進(jìn)行拉普拉斯變換，得到方程組:

    (11)

    注意:推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度，求解方程組的第一個(gè)方程，可以得到:

                   (12)

如果令 ,則有:

                     (13)

    把上式代入方程組的第二個(gè)方程，得到:

(14)

    整理后得到傳遞函數(shù):

(15)

其中

    設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為:

                                 (16)

方程組對(duì)解代數(shù)方程，得到解如下:

(17)

    整理后得到以外界作用力(u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F)作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程:

(18)

  (19)

    由方程組(9)得第一個(gè)方程為:

                               (20)

    對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿有:

                                               (21)

    于是可以得到:

                       (22)

化簡(jiǎn)得到:   

                 (23)

    設(shè),則可以得到以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程:

(24)

  (25)

以小車加速度為控制量，擺桿角度為被控對(duì)象，此時(shí)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

                              (26)

將物理參數(shù)代入上面的系統(tǒng)狀態(tài)方程和傳遞函數(shù)中得到系統(tǒng)精確模型。系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：

:(27)

  (28)

    系統(tǒng)傳遞函數(shù):

                       (29)

上面已經(jīng)得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程式，對(duì)其進(jìn)行階躍響應(yīng)分析，在MATLAB命令窗口鍵入以下命令:

A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 60 0];

B=[0 1 0 6.122]’;

C=[1 0 0 0;0 0 1 0];

D=[0 0]’;

step(A,B,C,D);

圖2.4 階躍響應(yīng)曲線

從圖中分析，未校正前系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

由系統(tǒng)傳遞函數(shù)（29）式可得其特征方程為：

                                       （30）

可得其特征根為：。顯然，有一個(gè)特征根位于s平面的右半平面，所以便攜式直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

根據(jù)傳遞函數(shù)式 ，利用MATLAB得到原系統(tǒng)的根軌跡，如圖3.1，有兩個(gè)極點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn)。

MATLAB程序設(shè)計(jì)如下：

num=[6.122];

den=[1,0,-60];

rlocus(num,den);

z=roots(num);

p=roots(den)

圖3.1 校正前的根軌跡圖

從根軌跡上可以看出，有一條根軌跡起始于右半平面的極點(diǎn)，兩條根軌跡沿著虛軸向無(wú)限遠(yuǎn)處延伸，這意味著無(wú)論增益如何變化，這條根軌跡總是位于右半平面，即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，必須增加控制器對(duì)其進(jìn)行校正。

從根軌跡圖中可得，系統(tǒng)并不穩(wěn)定，因此需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行超前校正，對(duì)于傳遞函數(shù)為：

設(shè)計(jì)控制器使得校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)如下：

調(diào)整時(shí)間、最大超調(diào)量，；

確定閉環(huán)期望極點(diǎn)的位置，由最大超調(diào)量：

可以得到，取，由得rad，其中為位于第二象限的極點(diǎn)和原點(diǎn)的連線與實(shí)軸負(fù)方向的夾角。

又由，可以得到，取，于是可以得到期望的閉環(huán)極點(diǎn)=

未校正系統(tǒng)的根軌跡在實(shí)軸和虛軸上，不通過(guò)閉環(huán)期望極點(diǎn)，因此需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行超前校正，設(shè)控制器為：

計(jì)算超前校正裝置應(yīng)提供的相角，已知系統(tǒng)原來(lái)的極點(diǎn)在主導(dǎo)極點(diǎn)產(chǎn)生的滯后相角和為：

    所以一次校正裝置提供的相角為：

設(shè)計(jì)超前校正裝置，已知，對(duì)于最大的值的角度：

圖3.2  根軌跡校正計(jì)算圖

按最佳確定法作圖規(guī)則，在上圖中畫出相應(yīng)的直線，求出超前校正裝置的零點(diǎn)和極點(diǎn)，分別為：

校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

由幅值條件，并設(shè)反饋為單位反饋，即。

    求得：

于是我們得到了系統(tǒng)的控制器：

    校正后用Matlab繪制根軌跡和階躍響應(yīng)曲線的程序如下：

num=[6.122];

den=[1 0 -60];

numlead=-7.0675;

denlead=-21.4332;

[Z,P,K]=tf2zp(num,den);

Za=[Z;numlead];

Pa=[P;denlead];

[num2,den2]=zp2tf(Za,Pa,K);

sys=tf(num2,den2);

rlocus(sys);

figure

KK=48.6810;

sys2=zpk(Za,Pa,KK*K);

sysc=sys2/(1+sys2);

t=0:0.01:3;

step(sysc,t);

在第一次調(diào)試時(shí)，選擇的時(shí)，得到的根軌跡以及階躍響應(yīng)曲線如圖3.3所示，可得，出現(xiàn)了超調(diào)，若要解決此問題則要重新選擇進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以采用增加阻尼，重復(fù)上面的設(shè)計(jì)方法，重新設(shè)計(jì)，直到系統(tǒng)的響應(yīng)滿足要求�；蛘咴诒３�角不變的情況下，將校正裝置的零點(diǎn)向左側(cè)偏移，以減少閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的影響。

圖3.3 出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象圖

圖3.4 校正后根軌跡圖

圖3.5 校正后系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

根據(jù)以上兩圖可以看出，校正后具有很好的穩(wěn)定性，但在實(shí)際調(diào)試過(guò)程中發(fā)現(xiàn)存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，通過(guò)對(duì)倒立擺的實(shí)物調(diào)試，尋找最優(yōu)的K值。在調(diào)試時(shí)，發(fā)現(xiàn)K值越大出現(xiàn)倒立擺劇烈抖動(dòng)，不穩(wěn)定，出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象，所以根據(jù)倒立擺的實(shí)際情況最終選擇K=48.7915。因與理論計(jì)算的結(jié)果相差不大，故而，不再重新設(shè)計(jì)。

在Simulink中進(jìn)行仿真，設(shè)置好設(shè)計(jì)所得的參數(shù)。如圖3.6所示為Simulink模型搭建圖。

圖3.6 根軌跡模型搭建

運(yùn)行以后得到如圖3.7所示的仿真結(jié)果。

圖3.7  擺桿角度響應(yīng)曲線

根軌跡法控制器設(shè)計(jì)實(shí)物調(diào)節(jié)及參數(shù)設(shè)置見附錄1。

PID控制器因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易調(diào)節(jié)，且不需要對(duì)系統(tǒng)建立精確的模型，在實(shí)際控制中應(yīng)用較廣。

PID調(diào)節(jié)器各校正環(huán)節(jié)的作用是：

比例環(huán)節(jié)：即時(shí)成比例的反映控制系統(tǒng)偏差信號(hào)；偏差一旦產(chǎn)生，調(diào)節(jié)器立即產(chǎn)生控制作用以減小偏差，產(chǎn)生過(guò)調(diào)；

積分環(huán)節(jié)：主要用于消除靜差，提高系統(tǒng)的無(wú)差度，當(dāng)積分環(huán)節(jié)過(guò)大時(shí)會(huì)產(chǎn)生振蕩；

微分環(huán)節(jié)：能反映偏差信號(hào)的變化趨勢(shì)，并能在偏差信號(hào)的值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個(gè)有效的早期修正信號(hào)，從而加快系統(tǒng)的動(dòng)作速度，減少調(diào)節(jié)時(shí)間。

此次實(shí)驗(yàn)只考慮控制擺桿的角度，小車的位置是不受控的，即擺桿角度的單閉環(huán)控制，立起擺桿后，會(huì)發(fā)現(xiàn)小車向一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)直到碰到限位信號(hào)。那么要使倒立擺穩(wěn)定在固定位置，還需要增加對(duì)電機(jī)位置的閉環(huán)控制，這就形成了擺桿角度和電機(jī)位置的雙閉環(huán)控制。立擺后表現(xiàn)為電機(jī)在固定位置左右移動(dòng)控制擺桿不倒。

如圖3.8所示，為PID控制仿真模型。

圖3.8  PID仿真模型

如圖3.9所示，可以通過(guò)雙擊PID控制模型進(jìn)行參數(shù)設(shè)置。

圖3.9 PID參數(shù)設(shè)置

先設(shè)置相關(guān)參數(shù)為，得到如圖3.10所示的擺桿角度響應(yīng)曲線。

圖3.10  擺桿角度響應(yīng)曲線

通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)，設(shè)置，得到圖3.11所示曲線。

圖3.11 調(diào)整參數(shù)后曲線

從圖中可以看出閉環(huán)控制系統(tǒng)持續(xù)振蕩，應(yīng)增加微分控制參數(shù)，經(jīng)過(guò)三個(gè)參數(shù)的慢慢調(diào)節(jié)，最終設(shè)定參數(shù)為，得到如圖3.12所示曲線。

圖3.12 增加微分，積分參數(shù)后曲線圖

可以看出，其在1秒內(nèi)達(dá)到平衡，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差比較小，但存在超調(diào)現(xiàn)象。

圖3.13 小車位置響應(yīng)曲線

從圖3.13可得，由于PID控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車的位置，所以小車會(huì)往一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，PID控制分析中的最后一段，若是想控制電機(jī)的位置，使得倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在固定位置附近，那么還需要設(shè)計(jì)位置PID閉環(huán)。

圖3.14  最優(yōu)參數(shù)圖

當(dāng)設(shè)置參數(shù)為時(shí)得到如圖3.14所示曲線，并取值為本次設(shè)計(jì)PID控制的最優(yōu)參數(shù)。

PID控制法控制器設(shè)計(jì)實(shí)物調(diào)節(jié)見附錄2。

在本次設(shè)計(jì)中，發(fā)現(xiàn)直線一級(jí)倒立擺本身是不穩(wěn)定的系統(tǒng)，但通過(guò)數(shù)學(xué)建模分析可以建立起小車加速度與擺桿角度間的傳遞函數(shù)，然后應(yīng)用控制理論的方法，借助MATLAB及Simulink軟件，可以分析出系統(tǒng)的特性一級(jí)調(diào)節(jié)方向。設(shè)置的參數(shù)調(diào)整時(shí)間為0.9s，最大超調(diào)量為25.4%，經(jīng)過(guò)計(jì)算得出阻尼比和固有頻率，阻尼比與最大超調(diào)量有關(guān)，當(dāng)最大超調(diào)量比較大時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差較大，在MATLAB中利用計(jì)算所得的參數(shù)繪制根軌跡圖和系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線，分析曲線、系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)，則應(yīng)該調(diào)節(jié)阻尼比，進(jìn)行重新設(shè)計(jì)計(jì)算，直到得到最優(yōu)參數(shù)為止。

直線一級(jí)倒立擺的校正有三種方式，分別是根軌跡法、頻率法、以及PID調(diào)節(jié)法。通過(guò)實(shí)際對(duì)比發(fā)現(xiàn)PID調(diào)節(jié)法設(shè)計(jì)的控制器比較穩(wěn)定，擺桿振蕩小，校正效果好。根軌跡法設(shè)計(jì)的控制器與選擇的參數(shù)最大超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間有關(guān)，即最大超調(diào)量越大，系統(tǒng)越不穩(wěn)定，擺桿振蕩大，達(dá)到平衡所需的時(shí)間多，且擺桿不容易調(diào)整到平衡狀態(tài)。

本次的課程設(shè)計(jì)很好的鍛煉了我的動(dòng)手能力和選擇最優(yōu)參數(shù)方法，了解了自動(dòng)控制原理這門課程，知道了直線一級(jí)倒立擺在科研教學(xué)中的重要作用。本次課設(shè)最大的難度在于數(shù)學(xué)模型的建立以及最優(yōu)參數(shù)的選擇。我們必須掌握基本概念，才能將選擇到最優(yōu)參數(shù)，設(shè)計(jì)好控制器。通過(guò)不斷地更改參數(shù)，繪制根軌跡圖、系統(tǒng)階躍響應(yīng)圖來(lái)分析系統(tǒng)是否達(dá)到平衡，若不平衡則需要重新調(diào)整參數(shù)。

圖附錄1.1  根軌跡法參數(shù)設(shè)置

圖附錄1.2  根軌跡法實(shí)物調(diào)試

圖附錄2.1  PID控制法參數(shù)設(shè)置

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2018-12-19 15:00 上傳

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