零基礎(chǔ)制作平衡小車【連載】7---模擬PID到離散型PID的轉(zhuǎn)換

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上一節(jié)對PID三個參數(shù)進(jìn)行了分析，知道了三個參數(shù)各自的優(yōu)缺點(diǎn)，這節(jié)我們將三個參數(shù)整合到一起，通過他們之間優(yōu)缺點(diǎn)互補(bǔ)，真正形成一個穩(wěn)定的系統(tǒng)。

將上一小節(jié)的公式相加：

• 1
• 2
• 3
  

式子中3*OUT0為常數(shù)，用常數(shù)OUTx代替。

這是模擬PID公式，對于這個公式，你要知道：
Kp ：放大系數(shù)
e(t)：誤差（t代表第t時刻采樣得到的誤差）
Ti ：積分時間常數(shù)
Td：微分時間常數(shù)

另外一點(diǎn)就是，我們使用單片機(jī)進(jìn)行PID運(yùn)算，是不能采用模擬型PID的，因?yàn)閱纹瑱C(jī)本身就是一個數(shù)字系統(tǒng)，里面只有0和1，因此不能處理模擬信號，只能將模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號，才能被單片機(jī)所用。
因此上面的公式不能使用，需要稍稍變動。

那么怎么轉(zhuǎn)換呢？

1. 比例項(xiàng)：

比例項(xiàng)就不同看了，很簡單，誤差乘上系數(shù)就行了，主要是積分項(xiàng)和微分項(xiàng)、

2. 積分項(xiàng)：

高數(shù)中是不是有一張和這個圖很像的一張圖，應(yīng)該在微積分那一章中，是讓求不規(guī)則圖形面積的。上圖紅色框內(nèi)，黑色曲線的面積是怎么求的？是不是將黑線拆分成很多個矩形，把這些矩形面積相加就行了。這個理念和離散型PID很像，我們定時去采樣，之后把采樣值進(jìn)行PID計(jì)算，這個時間越小，離散型的結(jié)果就越接近模擬型結(jié)果。

那么積分項(xiàng)就可以寫成下面的公式：

Sk：是積分輸出項(xiàng)
Ek：表示誤差（第k次采樣的誤差）
T：采樣時間
Ti：積分常數(shù)

公式可以這樣理解：
將誤差看做坐標(biāo)軸的Y軸（長），T看做X軸（寬），當(dāng)k=1時，表示第一次采樣的誤差E1×采樣時間T是不是相當(dāng)于求矩形的面積（長×寬），之后將所有的矩形面積都累加起來，就可以近似求出曲線的面積。

3. 微分項(xiàng)

積分是無限累加，微分是無限分割，Ek和Ek-1還看做Y軸，T是X軸。斜率 =（y2-y1）/（x2-x1），（y2-y1）就是Ek - Ek-1，（x2-x1）就是T。當(dāng)采樣時間T足夠小時，上面這個公式是不是可以看成曲線上每個點(diǎn)（甚至更小）的效率了。

最終離散型公式：

• 積分時間常數(shù)Ti
  （1）T是采樣時間，Ti是積分時間常數(shù)，兩個不一樣，最終積分系數(shù)Ki=Kp*（T/Ti）
  （2）Ti在分母上，因此Ti越大，Ki越小，積分作用越小；Ti越小，Ki越大，積分作用越大
  （3）我們最終調(diào)節(jié)的參數(shù)是合并之后的Ki，而不會單獨(dú)調(diào)節(jié)Ti
• 微分時間常數(shù)Td.
  （1）Td越大，積分作用就越大，Td越小，積分作用就越小
  （2）我們最終調(diào)節(jié)的參數(shù)是合并之后的Kd，而不會單獨(dú)調(diào)節(jié)Td
  

假設(shè)是溫控系統(tǒng)，我們設(shè)定目標(biāo)值為100℃，當(dāng)?shù)谝淮尾蓸拥降谝坏竭_(dá)目標(biāo)值時，誤差Ek=Sv-Pk,該段時間內(nèi)的誤差都為正數(shù)，積分項(xiàng)是將所有誤差都累加起來的，因此在第一次到達(dá)目標(biāo)值時，會累積很大一個誤差，該誤差會造成即便溫度達(dá)到目標(biāo)值100℃，此時P項(xiàng)沒有作用了，但系統(tǒng)還是會繼續(xù)加熱，為什么？就是因?yàn)榇藭r積分項(xiàng)經(jīng)過計(jì)算，會輸出一個很大的值。這就造成系統(tǒng)產(chǎn)生過沖，最直觀的表現(xiàn)就是下圖中，第一次超過目標(biāo)值產(chǎn)生的過沖現(xiàn)象。

解決辦法就是一開始不加入積分項(xiàng)，當(dāng)溫度到達(dá)一定值，比如80℃時，在加入積分項(xiàng)。

這種情況一般會出現(xiàn)在系統(tǒng)啟動、結(jié)束或大幅度增減設(shè)定值時，短時間內(nèi)會造成系統(tǒng)輸出很大的偏差，這種情況可以采用上述方法（積分分離）來解決。