matlab二級倒立擺模糊控制七級資料

倒立擺是進行控制理論研究的典型實驗平臺，許多抽象的控制理論概念，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可觀性及可控性等都可以通過該系統(tǒng)直觀地表示出來。因此，近幾年來，該系統(tǒng)已經(jīng)成為控制領(lǐng)域的研究熱點。

倒立擺系統(tǒng)是一個典型的非線性、強耦合、多變量和不穩(wěn)定系統(tǒng)。在控制研究領(lǐng)域有著代表性的意義。倒立擺作為控制系統(tǒng)的被控對象,許多抽象的控制概念都可以通過它直觀的表現(xiàn)出來。本次課設(shè)我選用以二級倒立擺為研究對象,采用牛頓力學定律進行數(shù)學建模，利用二次型最優(yōu)控制器( LQR)求出最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣K,經(jīng)過對Q和R兩個加權(quán)矩陣的選取實現(xiàn)二級倒立擺的自動控制。該方法為多變量反饋系統(tǒng)的設(shè)計提供了有效的分析法，可適于時變系統(tǒng)，處理擾動信號和測量噪聲，處理有限和無限的時間區(qū)間。

1 系統(tǒng)建模

1.1相關(guān)數(shù)據(jù)

圖 1 直線兩級倒立擺物理模型

首先，對該系統(tǒng)做如下假設(shè):

1)小車、一級擺桿和二級擺桿都是剛體。

2)皮帶輪與同步帶之間無相對滑動，且同步帶不會拉伸變長。

3)小車與導軌之間的摩擦力與小車速度成正比。

4)各級擺桿與轉(zhuǎn)軸間的轉(zhuǎn)動摩擦力矩與擺桿的角速度成正比。

表1 二級倒立擺各物理參數(shù):

1.2理論依據(jù)

1.2.1 受力分析

（1-1）                                               

其中 L 為拉格朗日算子，q 為系統(tǒng)的廣義坐標，T 為系統(tǒng)的動能，V 為系統(tǒng)的

勢能。

（1-2）

其中 i＝1,2,3……n， i f 為系統(tǒng)在第 i 個廣義坐標上的外力，在二級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標有三個廣義坐標，分別為 x, θ1, θ2 。

圖2 直線二級倒立擺受力分析

先對倒立擺的物理模型進行分析，如圖2所示，然后建立擺桿和質(zhì)量塊的質(zhì)心的坐標表達式。這里規(guī)定擺桿1的質(zhì)心坐標為，擺桿2的質(zhì)心坐標為，質(zhì)量塊的質(zhì)心坐標為。質(zhì)心坐標如下：

在直線二級倒立擺系統(tǒng)中，廣義坐標為，和。根據(jù)倒立擺的物理模型分析圖，列寫出系統(tǒng)的動能為：

               （1-3）            

其中，、、和分別為小車、擺桿1、擺桿2和質(zhì)量塊1的動能，它們分別為：

       （1-4）

              （1-5）              

               （1-6）              

其中，和分別為擺桿1和擺桿2質(zhì)心平動動能，和分別為擺桿1和擺桿2繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能。然后，應用擺桿和質(zhì)量塊質(zhì)心表達式求出系統(tǒng)的動能。

              

              

              （1-7）

同理帶入（1-7），求出擺桿2的動能為：

（1-8）

（1-9）

因此將（1-7）（1-8）（1-9）帶入（1-3），可以得到系統(tǒng)動能為

  

從而得到Lagrange函數(shù)為

            

                    

1.2.2 列出Lagrange方程

由于在廣義坐標上均無外力作用，故列寫Lagrange方程得到

              （2-1）

（2-2）

將L代入式(2-1)和(2-2)得到

                  

                                        

上述方程為倒立擺的動力學方程，求解微分方程可以得到倒立擺狀態(tài)量的表達式，然后可以建立倒立擺的數(shù)學模型。

1.3 倒立擺運動方程的線性化處理

針對已建立的拉格朗日方程，求解方程可以得到倒立擺狀態(tài)量的表達式。由于是關(guān)于系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸入控制量u的方程，小車施加的加速度信號作為控制量，有；因此設(shè)方程的解為：

                                                                                                                     

二元函數(shù)的形式為，在其平衡點附近進行泰勒級數(shù)展開。在平衡點附近，由于偏差及的絕對值很小，可以省略函數(shù)高次項得：

（3-1）            

   ，

這樣，與和之間的非線性關(guān)系，轉(zhuǎn)化為與和之間的線性關(guān)系。當系統(tǒng)的平衡點處于原點時，即，可以對方程化簡為：

                          

按照二元函數(shù)的泰勒級數(shù)展開方法對公式（3-1）進行展開，由于直線二級倒立擺系統(tǒng)的平衡點為：；因此線性化后得到的表達式為：

            

其中

由于求解微分方程比較繁瑣，因此對線性化處理后的方程采用mathematica軟件編寫程序，求解倒立擺狀態(tài)量的表達式。根據(jù)得到的參數(shù)，建立倒立擺的數(shù)學模型。

運行程序求出倒立擺狀態(tài)量的表達參數(shù)，其中k11、k14、k15、k16、k21、k24、k25、k26的值為0，其余各參數(shù)的表達式如下：

=78.64；

=-21.62；

=5.70；

=-39.32；

=38.59；

-0.029；

對二級倒立擺系統(tǒng)，取系統(tǒng)狀態(tài)變量為[1]，然后建立連續(xù)狀態(tài)空間方程為：

                                                     

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量直接的關(guān)系，寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

1.4 能控能觀性檢測

1.4.1能控性檢測

1.4.2觀測性檢測

2 模糊控制器的設(shè)計

2.1模糊控制器基本原理

模糊控制是以模糊集理論、模糊語言變量和模糊邏輯推理為基礎(chǔ)的一種智能控制方法，它是從行為上模仿人的模糊推理和決策過程的一種智能控制方法。該方法首先將操作人員或?qū)＜医?jīng)驗編成模糊規(guī)則，然后將來自傳感器的實時信號模糊化，將模糊化后的信號作為模糊規(guī)則的輸入，完成模糊推理，將推理后得到的輸出量加到執(zhí)行器上。

簡言之，模糊控制器會將輸入的誤差和誤差變化量的精確值進行模糊化，然后將模糊值進行邏輯推理，最后將得到的模糊值去模糊化再送出。

模糊控制器的結(jié)構(gòu)如圖3所示�？刂破饔�4個基本部分組成，即模糊化接口、知識庫、推理機、解模糊接口。

根據(jù)前面介紹的二級倒立擺穩(wěn)定控制思想，采用融合技術(shù)設(shè)計一個線性融合函數(shù)，把多個變量融合成為綜合誤差E和綜合誤差變化率EC，這就可以使模糊控制器的設(shè)計大為簡化。如圖4。

圖3模糊控制器的結(jié)構(gòu)

圖4 采用融合技術(shù)的模糊控制器

2.2模糊控制器設(shè)計步驟

(1)確定模糊控制器的輸入變量和輸出變量(即控制量);

(2)設(shè)計模糊控制器的控制規(guī)則;

(3)進行模糊化和解模糊化;

(4)選擇模糊控制器的輸入變量及輸出變量的論域，并確定模糊控制器的參數(shù)(如量化因子、比例因子);

(5)編制模糊控制算法的應用程序;

2.3模糊規(guī)則表

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2021-5-16 19:34 上傳

If EC=NB and E=NB then U=NB ;

If EC=NB and E=NM then U=NB

If EC=NB and E=NS then U=NB

If EC=NB and E=ZE then U=NM

If EC=NB and E=PS then U=NM

If EC=NB and E=PM then U=NS

If EC=NM and E=NB then U=NB ……

2.4利用融合函數(shù)設(shè)計

基于LQR理論來為二級倒立擺的狀態(tài)方程設(shè)計一個狀態(tài)反饋矩陣K和降維矩陣G，將六個狀態(tài)變量綜合成兩個變量，即綜合誤差E和綜合誤差變化率EC。并通過LQR仿真，得出輸入輸出數(shù)據(jù)對，根據(jù)得出的數(shù)據(jù)，計算并制定出模糊規(guī)則。

利用最優(yōu)控制理論計算出一組可以讓二級倒立擺穩(wěn)定的狀態(tài)反饋矩陣K：  (2-1)

最優(yōu)控制性能指標函數(shù)為：

  (2-2)

通過使性能指標函數(shù)式(6-1)為最小，可求得：

  (2-3)

求解如下Ricatti方程可得到矩陣P。

(2-4)

性能指標函數(shù)中，矩陣Q和矩陣R這兩個參數(shù)需要定義，是用來平衡系統(tǒng)對輸入量和狀態(tài)量的敏感程度的。它們對閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能影響很大。在倒立擺系統(tǒng)中，Q，R分別用來對狀態(tài)向量X和輸入控制量u進行平衡加權(quán)的。一般情況下，R增加時，控制力減小，角度變化變小，跟隨速度變慢。而Q中某元素增加時，其對應的狀態(tài)變量的響應速度增加，其它狀態(tài)變量的響應速度相對減慢。為了使得反饋矩陣K更合理，對矩陣Q， R的選取一定要盡量恰當。通過反復的測試，在實際系統(tǒng)的控制過程中，選取

基于MATLAB強大的矩陣運算以及它豐富的內(nèi)部函數(shù)，利用K=lqr(A,B,Q,R)命令通過計算，可得到狀態(tài)反饋矩陣K：

K=[17.3205,111.7009，-200.6791,18.6848, 2.6899，-32.5784]

本文應用歸一化思想設(shè)計降維矩陣G。從上面的結(jié)論中得知狀態(tài)矩陣K中包含六個元素，分別代表著六個狀態(tài)變量的權(quán)值。根據(jù)歸一化思想，每個元素均除以矩陣K的范數(shù)，為了把六個狀態(tài)變量合并成兩個變量，設(shè)計如式(2-5 )形式的矩陣，利用狀態(tài)反饋陣K構(gòu)造出降維矩陣G：

(2-5)

其中，

把所得狀態(tài)反饋陣K的值代入式(6-5 )得到G：

最后，通過降維矩陣G把六個狀態(tài)變量X綜合為兩個變量，稱為綜合誤差E和綜合誤差變化率EC。

(2-6)

2.5模糊控制器的輸入輸出論域及模糊集合的劃分

首先對系統(tǒng)進行采樣，粗略確定輸入輸出論域:位置[-0.2，0.2]，速度[-1，1]，下擺角[-0.15，0.15]，下擺角速度[-4 , 4]上擺角[-0.08, 0.08]，上擺角速度[-0.8, 0.8]，控制力[-45,45]。為簡化，綜合誤差E、綜合誤差變化域EC和輸出量化域均為[-3,3]。

可大致估算E的量化因子為14，EC的量化因子為18,U的的比例因子為15。

3 matlab仿真

                   圖5 模型建立

該模型Constant初值我設(shè)定為0，融合矩陣，系統(tǒng)矩陣A=，輸入矩陣B=,

輸出矩陣C=,直聯(lián)矩陣D=。初始，我選定E的量化因子為14，EC的量化因子為18,U的的比例因子為15。

表3 模糊規(guī)則表

If EC=NB and E=NB then U=NB ;

If EC=NB and E=NM then U=NB

If EC=NB and E=NS then U=NB

If EC=NB and E=ZE then U=NM

If EC=NB and E=PS then U=NM

If EC=NB and E=PM then U=NS

仔細觀察仿真波形圖，可以看到，比例因子增大，整個系統(tǒng)達到穩(wěn)定的時間變長了。

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2021-5-16 16:55 上傳

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