倒立擺建模及實驗分析

ID:770223 · 發(fā)表于 2021-11-24 17:15

實驗項目總共十二個,包括：
系統(tǒng)建模和穩(wěn)定性分析
頻域法復(fù)合校正
根軌跡校正
復(fù)合校正的分析及改進
PID 法校正
狀態(tài)反饋控制
頻域法校正
不同狀態(tài)下狀態(tài)反饋控制效果比較
根軌跡法復(fù)合校正
LQR 控制
PID 法復(fù)合校正
開環(huán)頻率特性測試
倒立擺的控制算法多種多樣，各種方法都有其各自的領(lǐng)域及重點，通過算法的比較，可以看出它們彼此之間的一些優(yōu)缺點

倒立擺實驗內(nèi)容

基本原則：應(yīng)能滿足任務(wù)書所選控制對象的技術(shù)性能指標(biāo)要求；本設(shè)計以單片機、DSP以及計算機為控制器；要求獨立完成所選課題的控制系統(tǒng)方案設(shè)計、硬件電路設(shè)計、控制軟件設(shè)計、系統(tǒng)建模、數(shù)值仿真或?qū)嶒烌炞C分析；獨立完成設(shè)計文檔。

基本步驟：系統(tǒng)調(diào)研分析；對控制系統(tǒng)進行設(shè)計之前，首先要查閱一定量的文獻資料，明確設(shè)計任務(wù)要求，控制對象的特點與控制工藝要求等。微處理器選擇；本設(shè)計提供兩種微處理器供選擇：單片機和DSP。

硬件電路設(shè)計：根據(jù)控制對象特點和設(shè)計要求，獨立完成系統(tǒng)硬件線路原理圖設(shè)計和PCB版圖設(shè)計。硬件電路設(shè)計包括：單片機或DSP基本系統(tǒng)設(shè)計、輸入\輸出電路設(shè)計、人機接口電路設(shè)計等。

系統(tǒng)程序設(shè)計首先根據(jù)控制對象控制工藝要求，畫出系統(tǒng)控制軟件程序流程圖，在此基礎(chǔ)上完成系統(tǒng)全部程序設(shè)計工作。包括：人機界面程序和實時控制程序。

系統(tǒng)建模與仿真：根據(jù)所選的控制對象，建立控制對象模型，應(yīng)用Matlab仿真軟件進行數(shù)值仿真，觀測分析PID控制參數(shù)（比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)）對控制性能的影響，記錄仿真結(jié)果。

實驗驗證：部分控制對象可以在計算機控制技術(shù)實驗室的實驗平臺是進行實物實驗驗證。獨立完成系統(tǒng)搭建工作，調(diào)整PID控制參數(shù)（比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)），記錄實驗結(jié)果，觀測分析PID控制參數(shù)對控制性能的影響。

第3章倒立擺系統(tǒng)建模
3.1倒立擺系統(tǒng)建模概論

倒立擺系統(tǒng)其本身是自不穩(wěn)定系統(tǒng)，實驗建模存在一些問題和困難，在忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以再慣性坐標(biāo)系中運用經(jīng)典力學(xué)對它進行分析，來建立系統(tǒng)動力學(xué)方程。在忽略掉了空氣阻力和各種摩擦力之后，可以講一階倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和均勻桿組成的系統(tǒng)，一階倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖如下：

圖2 一階倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖

定義的參數(shù)為：小車質(zhì)量

擺桿質(zhì)量
小車摩擦系數(shù)

擺桿慣量

加在小車上的力

小車位置

擺桿與垂直向上方向的夾角

擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度

擺桿與垂直向下方向的夾角（擺桿初始位置為豎直向下）

得到小車和擺桿的受力圖：

圖3 小車和擺桿的受力圖

系統(tǒng)建�？梢苑譃閮煞N：機理建模和實驗建模。機理建模是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入—輸出狀態(tài)關(guān)系。實驗建模是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入—輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號的設(shè)計選取、輸出信號的精確檢測、數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。對于倒立擺系統(tǒng)，經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，它就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程。下面采用其中的牛頓—歐拉方法建立直線一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

3.2倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立

分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

設(shè)擺桿受到與垂直方向夾角? 為的干擾力Fg ，可分解為水平方向、垂直方向的干擾力，所產(chǎn)生的力矩可以等效為在擺桿頂端的水平干擾力Fs、垂直干擾力 Fh 產(chǎn)生的力矩。

對擺桿水平方向的分析可以得到式：

即：

對圖擺桿垂直方向上的合力進行分析，可得式：

即：

力矩平衡方程如下：

帶入 P 和 N，得到方程：

設(shè)?=?+?（?是擺桿與垂直向上方向之間的夾角，單位是弧度）。設(shè)? ?? 1，則可以進行近似處理：

由于：

方程可化為：

令： Ff=Fg(-sin?-?cos?)則化簡為：

即是化簡后的直線一級倒立擺系統(tǒng)微分方程。帶入實際數(shù)據(jù)后，微分方程如式：

當(dāng)忽略系統(tǒng)Ff ，系統(tǒng)微分方程如式：

忽略干擾力后，直線一級倒立擺系統(tǒng)是單輸入二輸出的四階系統(tǒng)，考慮干擾力后，直線一級倒立擺系統(tǒng)是二輸入二輸出的四階系統(tǒng)。其內(nèi)部的 4 個狀態(tài)量分別是小車的位移 x 、小車的速度 v 、擺桿的角度? 、擺桿的角速度? 。系統(tǒng)輸出的觀測量為小車的位移 x 、擺桿的角度? 。其控制量為小車的加速度a ，F(xiàn)f 是直線一級倒立擺運動中各種干擾因素的綜合項，可以等效為干擾力考慮。

建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)

根據(jù)系統(tǒng)微分方程式（1-10c），轉(zhuǎn)化為關(guān)于加速度輸入量和角度輸出量的傳遞函數(shù)：

直線一級倒立擺穩(wěn)定性分析

構(gòu)建如圖 3.4 所示閉環(huán)系統(tǒng)，則系統(tǒng)的閉環(huán)極點為（±5.1381）：

圖3-4閉環(huán)系統(tǒng)

由于有實部為正的極點，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，必須設(shè)計控制器使系統(tǒng)穩(wěn)定。

仿真實驗

1) 在 LAB\simulink 中構(gòu)建圖 3.5 所示所示系統(tǒng)的仿真程序 e1，默認格式 slx，加入 1m/s2的階躍信號。

圖3-5構(gòu)建圖

2) 雙擊 Setup 模塊，設(shè)置 Final value 值為 1

3) 點擊“

”，運行仿真程序

4) 雙擊打開 Scope 示波器，查看仿真曲線

圖3-7仿真曲線

5) 此時系統(tǒng)發(fā)散，不穩(wěn)定。

實驗記錄：

內(nèi)容	數(shù)據(jù)
開環(huán)傳遞函數(shù)	=
閉環(huán)輸入信號	1m/
閉環(huán)系統(tǒng)輸出信號	系統(tǒng)不穩(wěn)定，發(fā)散

3.3定量、定性分析系統(tǒng)的性能

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：

方程組對解代數(shù)方程，得到解如下：

整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：

實際參數(shù)代入：

一階倒立擺系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)為：

小車質(zhì)量 0.5 Kg ；

擺桿質(zhì)量0.2 Kg ；

小車摩擦系數(shù)0.1 N/m/sec ；

擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度0.3 m ；

擺桿慣量0.006 kg*m*m ；

采樣時間0.005秒。

將上述參數(shù)代入得實際模型：

擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：

擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：

以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：

對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析

在MATLAB中運行以下程序：

A=[ 0 1 0 0; 0 -0.181818 2.672727 0; 0 0 0 1; 0 -0.454545 31.181818 0];

B=[ 0 1.818182 0 4.545455]';

C=[ 1 0 0 0; 0 0 1 0];

D=[ 0 0 ]';

[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)

z =

-4.9497 0.0000 + 0.0000i

4.9497 0.0000 - 0.0000i

p =

0

-5.6041

-0.1428

5.5651

k =

1.8182

4.5455

>> impulse(A,B,C,D）

系統(tǒng)脈沖響應(yīng)

由圖可得，系統(tǒng)在單位脈沖的輸入作用下，小車的位移和擺桿的角度都是發(fā)散的，同時，由以上程序的零極點得極點有一個大于零，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。

對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析：

A=[ 0 1 0 0; 0 -0.181818 2.672727 0; 0 0 0 1; 0 -0.454545 31.181818 0];

B=[ 0 1.818182 0 4.545455]';

C=[ 1 0 0 0; 0 0 1 0];

D=[ 0 0 ]';

>> Qc=ctrb(A,B);

>> Qo=obsv(A,C);

>> rank(Qc)

ans =

4

>> rank(Qo)

ans =

4

因此系統(tǒng)為完全能觀測和完全能控的。

第4章倒立擺系統(tǒng)校正

4.1倒立擺系統(tǒng)的PID 校正

1. PID 法校正直線一級倒立擺系統(tǒng)

PID 的控制算法有很多，不同的算法各有其針對性。圖 5-1、圖 5-2、圖 5-3 給出了三種不同的算法。在模擬控制系統(tǒng)中，控制器最常用的控制規(guī)律是 PID 控制。模擬 PID 控制系統(tǒng)原理框圖如圖5.2 所示。系統(tǒng)由模擬 PID 控制器和被控對象組成。

圖 4-1 模擬 PID 控制原理圖

圖 4-2 微分先行 PID 控制原理圖

圖 4-3 偽 PID 控制原理圖

PID 控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值r(t)與實際輸出值c(t)構(gòu)成控制偏差e(t) 。

e(t)=r(t)-c(t)

將偏差的比例 P、積分 I 和微分 D 通過線性組合構(gòu)成控制量，對被控對象進行控制，故稱為 PID控制器，其控制規(guī)律為：

寫成傳遞函數(shù)形式為：

式中：

K :比例系數(shù)； TI ：積分時間常數(shù)； TD ：微分時間常數(shù)；控制器設(shè)計和仿真中，也將傳遞函數(shù)寫成：

式中： KP —比例系數(shù)、 KI —積分系數(shù)、 KD —微分系數(shù)。從根軌跡角度看，相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了一個位于原點的極點和兩個位置可變的零點。

簡單說來， PID 控制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下：

1) 比例環(huán)節(jié)：成比例地反映控制系統(tǒng)的偏差信號，偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。

2) 積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。積分作用的強弱取決于積分時間常數(shù)越大，積分作用越弱，反之則越強。

3) 微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號的變化趨勢（變化速率），并能在偏差信號值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個有效的早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減小調(diào)節(jié)時間。

2. PID 參數(shù)整定方法

1) 根軌跡法

PID 的數(shù)學(xué)模型可化為：

相當(dāng)于是給系統(tǒng)增加了一個位于原點的極點和兩個位置可變的開環(huán)零點，因此對于低階已知數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)，根據(jù)期望的性能指標(biāo)可以采用根軌跡法確認 PID 參數(shù)。

2) 頻域法

對于已知頻率特性曲線的系統(tǒng)， PID 控制器相當(dāng)于給頻率特性曲線增加了積分環(huán)節(jié)和一個二階微分環(huán)節(jié)，通過調(diào)整 PID 參數(shù)，可以改變 PID 控制器的頻率特性，進而改變閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性。

3) 湊試法

在 PID 參數(shù)進行整定時如果能夠用理論的方法確定 PID 參數(shù)當(dāng)然是最理想的，但是在實際的應(yīng)用中，由于各種因素影響，更多的是通過湊試法來確定 PID 的參數(shù)。

增大比例系數(shù) P 一般將加快系統(tǒng)的響應(yīng)，在有靜差的情況下有利于減小靜差，但是過大的比例系數(shù)會使系統(tǒng)有比較大的超調(diào)，并產(chǎn)生振蕩，使穩(wěn)定性變壞。

增大積分時間 I 有利于減小超調(diào)，減小振蕩，使系統(tǒng)得穩(wěn)定性增加，但是系統(tǒng)靜差消除時間變長。

增大微分時間 D 有利于加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，使系統(tǒng)超調(diào)量減小，穩(wěn)定性增加，但系統(tǒng)對擾動的抑制能力減弱。

在湊試時，可參考以上參數(shù)對系統(tǒng)控制過程的影響趨勢，對參數(shù)調(diào)整實行先比例、后積分、再微分的整定步驟。首先整定比例部分，將比例系數(shù)由小變大，并觀察相應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)，直至得到反應(yīng)快、超調(diào)小的響應(yīng)曲線。如果系統(tǒng)沒有靜差或靜差已小到允許范圍內(nèi)，并且對響應(yīng)曲線已經(jīng)滿意，則只需要比例調(diào)節(jié)器即可。如果在比例調(diào)節(jié)的基礎(chǔ)上系統(tǒng)的靜差不能滿足設(shè)計要求，則必須加入積分環(huán)節(jié)。在整定時先將積分時間設(shè)定到一個比較大的值，然后將已經(jīng)調(diào)節(jié)好的比例系數(shù)略為縮小（一般縮小為原值的 0.8），然后減小積分時間，使得系統(tǒng)在保持良好動態(tài)性能的情況下，靜差得到消除，在此過程中，可根據(jù)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線的好壞反復(fù)改變比例系數(shù)和積分時間，以期得到滿意的控制過程和整定參數(shù)。如果在上述調(diào)整過程中對系統(tǒng)的動態(tài)過程反復(fù)調(diào)整還不能得到滿意的結(jié)果，則可以加入微分環(huán)節(jié)，首先把微分時間 D 設(shè)置為 0，在上述基礎(chǔ)上逐漸增加微分時間，同時相應(yīng)的改變比例系數(shù)和微分時間，逐步湊試，直至得到滿意的調(diào)節(jié)結(jié)果。

3. 采用根軌跡法確定 PID 參數(shù)舉例

加 PID 控制器后角度閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖如圖所示：

圖4-4加 PID 控制器后角度閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖

角度控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

開環(huán)極點為：±5.42， 0

開環(huán)零點為：

PID 環(huán)節(jié)為系統(tǒng)增加了一個位于原點的極點，兩個可變的零點。系統(tǒng)有共有兩個零點、三個極點。三階系統(tǒng)可以采用根軌跡法確定 PID 參數(shù)。根據(jù)兩個零點的相對位置，可以把根軌跡分成八種，如下圖所示：

圖4-5兩個共軛零點位于右半平面圖4-6兩個零點在實軸上，均在正極點的右側(cè)

圖4-7兩個零點在正實軸上，其中一個位于正極點右側(cè) 圖4-8一個零點在正實軸上，一個位于負實軸上

圖4-9兩個共軛零點負實部介于負極點和原點之間圖4-10兩個負實零點介于負極點和原點之間

圖4-11兩個負實零點位于負極點左邊圖4-12兩個共軛零點，負實部位于負極點左邊，距負極點較近

圖4-13兩個共軛零點，負實部位于負極點左邊，距負極點較遠

從上述八種圖可以看出，圖4-5、圖4-6、圖4-7、圖4-8 所示四種根軌跡，閉環(huán)系統(tǒng)一定有右極點，不穩(wěn)定；圖4-9、圖4-10 所示，至少有兩個閉環(huán)極點位于左極點和原點之間，系統(tǒng)快速性不好；圖 4-11所示雖然三個閉環(huán)極點均可位于左側(cè)，但是中間一根根軌跡分支其長度有限，根軌跡增益即使發(fā)生變化很大，系統(tǒng)快速性也不會有很大改善；圖4-12、圖4-13可以通過調(diào)整更軌跡增益使閉環(huán)系統(tǒng)極點位于開懷左極點的左側(cè)，并且盡量靠近負實軸，設(shè)計出快速性、穩(wěn)定性均較好的系統(tǒng)。

4.2 倒立擺系統(tǒng)的根軌跡校正

1. 根軌跡法分析直線一級倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定性直線一級倒立擺單入單出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

開環(huán)系統(tǒng)的極點為：±5.42

閉環(huán)環(huán)根軌跡如圖：

圖4-15閉環(huán)環(huán)根軌跡

由系統(tǒng)根軌跡圖可以看出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個開環(huán)極點位于右半平面，并且閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡關(guān)于虛軸對稱，這意味著無論根軌跡增益如何變化，閉環(huán)根總是位于正實軸或者虛軸上，即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定的。

2. 零極相消法校正

對于二階系統(tǒng)而言，閉環(huán)極點距離虛軸越遠，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間就越短；閉環(huán)極點距離負實軸越近，超調(diào)量就越小。不妨對系統(tǒng)新增加一個開環(huán)零點和一個開環(huán)極點，零點為-5.42，消去倒立擺的開環(huán)左極點，增加一個位于 40 的開環(huán)左極點�？刂破鳛椋�

k 為開環(huán)增益，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示：

圖4-16控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

加控制器后系統(tǒng)根軌跡圖如圖所示：

圖4-17控制器后系統(tǒng)根軌跡圖

當(dāng)k = 400，加入階躍激勵信號為 0.05m/

時，?(s) 仿真輸出如下圖所示：

圖4-18仿真輸出

3. 加根軌跡校正后實時控制實驗

1) 打開倒立擺系統(tǒng)電控箱上的電源，然后將倒立擺小車扶至導(dǎo)軌中間位置。

2) 在 Matlab 命令行中輸入 gtbox，打開 gtbox 工具箱中“gtbox/Inverted Pendulum/Servo MotorDriven/GLIP/GTS/One Stage/2-Root Locus”路徑下的“Root_Locus_Control_gts”程序。

圖4-19命令行圖

a) 實時控制程序程序設(shè)計簡介：

輸入目標(biāo)擺桿角度，設(shè)計閉環(huán)負反饋系統(tǒng)，加根軌跡校正模塊使系統(tǒng)，輸入目標(biāo)擺桿角度信號與系統(tǒng)反饋角度信號比較后通過根軌跡控制器使系統(tǒng)滿足要求。

b) 程序模塊說明

① 藍色模塊均為運動控制卡模塊詳見第二章 2.2 節(jié)；

② Angle Ref 模塊：目標(biāo)擺桿角度；

③ Enter Ang 模塊：比較目標(biāo)與實際角度差值小于 10°時該模塊連通后續(xù)模塊；

④ Slider Gain 及 Transfer Fcn1 模塊：根軌跡控制器；

⑤ Real Control 模塊：詳見第二章 2.3 節(jié)；

3) 點擊“

”編譯程序；

4) 編譯成功后，點擊“

”連接程序，點擊“

”運行程序

5) 程序運行后，用手扶擺桿末端扶起擺桿至豎直向上位置，此時程序進入控制，扶住擺桿末端使其維持在導(dǎo)軌中間位置；

6) 然后把“Step Switch”模塊打到0.05/

時，Angle中系統(tǒng)輸出響應(yīng)情況

圖4-20系統(tǒng)輸出響應(yīng)圖

實驗記錄：

內(nèi)容	系統(tǒng)仿真	實時控制
無控制器	閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，發(fā)散	/
根軌跡控制器	穩(wěn)定	無法測量動態(tài)性能系統(tǒng)靜態(tài)不穩(wěn)定

實驗分析及思考：

1. 系統(tǒng)不穩(wěn)定的原因分析

直線一級倒立擺系統(tǒng)是小車在光滑的導(dǎo)軌上運動，小車上鉸鏈了一根擺桿。當(dāng)擺桿被控時，小車運動的位移也受到導(dǎo)軌實際長度的限制。因此，輸出量除了擺桿角度外，還有一個小車運動的位移。位移與輸入量小車加速度之間的關(guān)系為：

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如如圖所示：

圖4-21控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

此時位移輸出仿真圖如圖所示：橫軸單位：秒、縱軸單位：米

圖4-22位移輸出仿真圖

小車一直向一端加速，最終導(dǎo)致小車撞限位，擺桿不穩(wěn)定。

由于倒立擺運動中，不可避免地會受到各種因素的干擾，即使在平衡狀態(tài)，角度、位移也會在一定范圍內(nèi)波動。因此，可以通過在輸入端加入恒定的一個小階躍信號，補償各種干擾對倒立擺穩(wěn)定造成的影響，即靜態(tài)補償?shù)姆椒�，使倒立擺系統(tǒng)靜態(tài)穩(wěn)定。注意：靜態(tài)補償值的大小，與倒立擺擺桿扶起的速度、方向、導(dǎo)軌摩擦力等有關(guān)，需要反復(fù)湊試確定，而且每次都有所偏差。

以上圖文的Word格式文檔下載(內(nèi)容和本網(wǎng)頁上的一模一樣,方便保存):

倒立擺.docx (1.13 MB, 下載次數(shù): 13)

ID:878663 · 發(fā)表于 2022-2-25 11:55

分開看感覺都學(xué)過，合一起感覺直接人傻了，文檔下載了慢慢研究，感謝大佬的分享。

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倒立擺建模及實驗分析

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