鐘表問題 一題多解鍛煉數(shù)學(xué)的思維

若當(dāng)前時刻為12點(diǎn)整，則時針和分針均指向刻度12。隨后，因?yàn)閮烧叩慕撬俣炔煌�，因此逐漸分開，但經(jīng)過1小時后，分針轉(zhuǎn)過一周，有趕上時針的趨勢，因此兩者漸漸重合。1點(diǎn)整時，分針指向刻度12，時針指向刻度1；1點(diǎn)5分時，分針恰指向刻度1，時針則超過刻度1。由于表盤上共有12大格（介于刻度1，2，3…，12之間），每個大格又被分為5小格，則時針前進(jìn)1大格為1小時，前進(jìn)1小格為12分鐘。由此可以看出，1點(diǎn)5分時，時針位于刻度1后第1小格的5/12處；而在1點(diǎn)零6分時，分針恰指向刻度1后第1小格處，時針介于第1小格的6/12=1/2處。因此，1點(diǎn)零5分時，時針在分鐘之前；1點(diǎn)零6分時，分針已超過時針。兩者重合發(fā)生在這兩個時刻之間。

算術(shù)求解：其實(shí)該鐘表問題類似于算術(shù)中的“追擊”問題。只要選擇好運(yùn)動的起點(diǎn)，便可以套用公式：追擊時間=路程/速度差求解。分針的角速度為1（小格/分鐘），時針的角速度為其1/12（小格/分鐘）。兩者速度差為11/12（小格/分鐘）。我們選擇運(yùn)動起點(diǎn)為1點(diǎn)整，此時分針落后時針5小格，因此：

即兩者重合時間為1點(diǎn)5分27.3秒。

       代數(shù)求解：分針角速度為時針角速度的12倍，因此若設(shè)時針從1點(diǎn)整起到兩針重合時走過的角度為x（單位：小格），則分針走過的距離為12x；另外，注意到1點(diǎn)整時，分針指向刻度12，時針指向刻度1，兩者相差5小格。建立方程如下：

則

分針走過了5.45小格，結(jié)果同算術(shù)求解。

       等比數(shù)列公式求解：高等數(shù)學(xué)求解的思考過程是在初始條件下，考慮分針追擊時針的過程。1點(diǎn)整時，時針（處于刻度1處）超前分針（處于刻度12處）5小格；則5分鐘后分針到達(dá)刻度1，時針前進(jìn)了5/12小格；下一次追擊，分針前進(jìn)5/12小格，時針前進(jìn)（5/12）/12小格；如此下去，則兩者最終相差為無窮小量，即分針追上時針。在此過程中，分針走過距離為：

答案同算術(shù)、代數(shù)解法。

分析求解：最開始我們已分析出12點(diǎn)整后，分針、時針將于1點(diǎn)5分后1點(diǎn)6分之間相遇，但我們尚不知準(zhǔn)確的時刻。繼續(xù)按照這個思路分析，則在2點(diǎn)整后，兩者相遇發(fā)生2點(diǎn)10分之后；3點(diǎn)整后，兩者相遇發(fā)生3點(diǎn)15分之后；4點(diǎn)整后，兩者相遇發(fā)生4點(diǎn)20分之后……兩者12小時內(nèi)最后一次重合發(fā)生在下一個12點(diǎn)整，其間共發(fā)生12次重合。又因?yàn)闀r針、分針都是勻速轉(zhuǎn)動，因此每次重合間時間段相等。這也就是說，每次間隔為12/11大格（代表小時），或者60/11小格(代表分鐘)。依次重合的時間為：

小時，而

小時，而

小時，而

小時，而

………

小時，而

小時。

由此我們得到了12小時內(nèi)每次時針、分針重合的時刻。

       由上面四種可以看出不同解法的思維特點(diǎn)。對問題進(jìn)行正確的分析時各種解法的基礎(chǔ)，但是算術(shù)解法和代數(shù)解法側(cè)重點(diǎn)在于確立一個初始狀態(tài)和終了狀態(tài)，并通過兩者的等值關(guān)系求解。而高等數(shù)學(xué)方法則是將上述追擊過程直接通過一個無窮級數(shù)計(jì)算，并根據(jù)級數(shù)的收斂性得出結(jié)果。因此，雖然計(jì)算過程看似復(fù)雜，然而思考的過程確簡單明了。分析求解方法則是分析了時針、分針重合的特點(diǎn)，通盤考慮求解，也具有鮮明的特點(diǎn)。