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入門第一課 什么是卷積 傅利葉變換 拉普拉斯變換
漫談 信號(hào)與系統(tǒng) 入門第一課 什么是卷積 卷積有什么用 什么是傅利葉變換 什么是拉普拉斯變換 引子
很多朋友和我一樣，工科電子類專業(yè)，學(xué)了一堆信號(hào)方面的課，什么都沒(méi)學(xué)懂，背了公式考了試，然后畢業(yè)了。
先說(shuō)"卷積有什么用"這個(gè)問(wèn)題。(有人搶答，"卷積"是為了學(xué)習(xí)"信號(hào)與系統(tǒng)"這門課的后續(xù)章節(jié)而存在的。我大吼一聲，把他拖出去槍斃！)
講一個(gè)故事:
張三剛剛應(yīng)聘到了一個(gè)電子產(chǎn)品公司做測(cè)試人員，他沒(méi)有學(xué)過(guò)"信號(hào)與系統(tǒng)"這門課程。一天，他拿到了一個(gè)產(chǎn)品，開(kāi)發(fā)人員告訴他，產(chǎn)品有一個(gè)輸入端，有一個(gè)輸 出端，有限的輸入信號(hào)只會(huì)產(chǎn)生有限的輸出。
然后，經(jīng)理讓張三測(cè)試當(dāng)輸入sin(t)(t<1秒)信號(hào)的時(shí)候(有信號(hào)發(fā)生器)，該產(chǎn)品輸出什么樣的波形。張三照做了，花了一個(gè)波形圖。
"很好！"經(jīng)理說(shuō)。然后經(jīng)理給了張三一疊A4紙: "這里有幾千種信號(hào)，都用公式說(shuō)明了，輸入信號(hào)的持續(xù)時(shí)間也是確定的。你分別測(cè)試以下我們產(chǎn)品的輸出波形是什么吧！"
這下張三懵了，他在心理想"上帝，幫幫我把，我怎么畫出這些波形圖呢?"
于是上帝出現(xiàn)了: "張三，你只要做一次測(cè)試，就能用數(shù)學(xué)的方法，畫出所有輸入波形對(duì)應(yīng)的輸出波形"。
上帝接著說(shuō):"給產(chǎn)品一個(gè)脈沖信號(hào)，能量是1焦耳，輸出的波形圖畫出來(lái)！"
張三照辦了，"然后呢?"
上帝又說(shuō)，"對(duì)于某個(gè)輸入波形，你想象把它微分成無(wú)數(shù)個(gè)小的脈沖，輸入給產(chǎn)品，疊加出來(lái)的結(jié)果就是你的輸出波形。你可以想象這些小脈沖排著隊(duì)進(jìn)入你的產(chǎn) 品，每個(gè)產(chǎn)生一個(gè)小的輸出，你畫出時(shí)序圖的時(shí)候，輸入信號(hào)的波形好像是反過(guò)來(lái)進(jìn)入系統(tǒng)的。"
張三領(lǐng)悟了:" 哦，輸出的結(jié)果就積分出來(lái)啦！感謝上帝。這個(gè)方法叫什么名字呢?"
上帝說(shuō):"叫卷積！"
從此，張三的工作輕松多了。每次經(jīng)理讓他測(cè)試一些信號(hào)的輸出結(jié)果，張三都只需要在A4紙上做微積分就是提交任務(wù)了！
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張三愉快地工作著，直到有一天，平靜的生活被打破。
經(jīng)理拿來(lái)了一個(gè)小的電子設(shè)備，接到示波器上面，對(duì)張三說(shuō): "看，這個(gè)小設(shè)備產(chǎn)生的波形根本沒(méi)法用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)說(shuō)明，而且，它連續(xù)不斷的發(fā)出信號(hào)！不過(guò)幸好，這個(gè)連續(xù)信號(hào)是每隔一段時(shí)間就重復(fù)一次的。張三，你 來(lái)測(cè)試以下，連到我們的設(shè)備上，會(huì)產(chǎn)生什么輸出波形！"
張三擺擺手:"輸入信號(hào)是無(wú)限時(shí)長(zhǎng)的，難道我要測(cè)試無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間才能得到一個(gè)穩(wěn)定的，重復(fù)的波形輸出嗎?"
經(jīng)理怒了:"反正你給我搞定，否則炒魷魚(yú)！"
張三心想:"這次輸入信號(hào)連公式都給出出來(lái)，一個(gè)很混亂的波形；時(shí)間又是無(wú)限長(zhǎng)的，卷積也不行了，怎么辦呢?"
及時(shí)地，上帝又出現(xiàn)了:"把混亂的時(shí)間域信號(hào)映射到另外一個(gè)數(shù)學(xué)域上面，計(jì)算完成以后再映射回來(lái)"
"宇宙的每一個(gè)原子都在旋轉(zhuǎn)和震蕩，你可以把時(shí)間信號(hào)看成若干個(gè)震蕩疊加的效果，也就是若干個(gè)可以確定的，有固定頻率特性的東西。"
"我給你一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)f，時(shí)間域無(wú)限的輸入信號(hào)在f域有限的。時(shí)間域波形混亂的輸入信號(hào)在f域是整齊的容易看清楚的。這樣你就可以計(jì)算了"
"同時(shí)，時(shí)間域的卷積在f域是簡(jiǎn)單的相乘關(guān)系，我可以證明給你看看"
"計(jì)算完有限的程序以后，取f(-1)反變換回時(shí)間域，你就得到了一個(gè)輸出波形，剩下的就是你的數(shù)學(xué)計(jì)算了！"
張三謝過(guò)了上帝，保住了他的工作。后來(lái)他知道了，f域的變換有一個(gè)名字，叫做傅利葉，什么什么... ...
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再后來(lái)，公司開(kāi)發(fā)了一種新的電子產(chǎn)品，輸出信號(hào)是無(wú)限時(shí)間長(zhǎng)度的。這次，張三開(kāi)始學(xué)拉普拉斯了......
后記:
不是我們學(xué)的不好，是因?yàn)榻滩牟缓�，老師講的也不好。
很欣賞Google的面試題: 用3句話像老太太講清楚什么是數(shù)據(jù)庫(kù)。這樣的命題非常好，因?yàn)闆](méi)有深入的理解一個(gè)命題，沒(méi)有仔細(xì)的思考一個(gè)東西的設(shè)計(jì)哲學(xué)，我們就會(huì)陷入細(xì)節(jié)的泥沼: 背公式，數(shù)學(xué)推導(dǎo)，積分，做題；而沒(méi)有時(shí)間來(lái)回答"為什么要這樣"。做大學(xué)老師的做不到"把厚書(shū)讀薄"這一點(diǎn)，講不出哲學(xué)層面的道理，一味背書(shū)和翻講 ppt，做著枯燥的數(shù)學(xué)證明，然后責(zé)怪"現(xiàn)在的學(xué)生一代不如一代"，有什么意義嗎?
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入門第二課 到底什么是頻率 什么是系統(tǒng)
漫談 信號(hào)與系統(tǒng) 入門第二課 到底什么是頻率 什么是系統(tǒng)?
我用講故事的方法來(lái)說(shuō)明了信號(hào)與系統(tǒng)這門課的所有基本概念，包括卷積，傅立葉變換，拉普拉斯變換的基本思想。說(shuō)清楚這些基本思想不需要任何復(fù)雜的數(shù)學(xué)公 式，完全用中文，用測(cè)試用例的一個(gè)故事就完全說(shuō)明了。 這一篇，我展開(kāi)的說(shuō)一下傅立葉變換F。注意，傅立葉變換的名字F可以表示頻率的概念(freqence)，也可以包括其他任何概念，因?yàn)樗皇且粋�(gè)概念模 型，為了解決計(jì)算的問(wèn)題而構(gòu)造出來(lái)的(例如時(shí)域無(wú)限長(zhǎng)的輸入信號(hào)，怎么得到輸出信號(hào))。我們把傅立葉變換看一個(gè)C語(yǔ)言的函數(shù)，信號(hào)的輸出輸出問(wèn)題看為IO 的問(wèn)題，然后任何難以求解的x->y的問(wèn)題都可以用x->f(x)->f-1(x)->y來(lái)得到。
1. 到底什么是頻率?
一個(gè)基本的假設(shè): 任何信息都具有頻率方面的特性，音頻信號(hào)的聲音高低，光的頻譜，電子震蕩的周期，等等，我們抽象出一個(gè)件諧振動(dòng)的概念，數(shù)學(xué)名稱就叫做頻率。想象在x-y 平面上有一個(gè)原子圍繞原點(diǎn)做半徑為1勻速圓周運(yùn)動(dòng)，把x軸想象成時(shí)間，那么該圓周運(yùn)動(dòng)在y軸上的投影就是一個(gè)sin(t)的波形。相信中學(xué)生都能理解這 個(gè)。
那么，不同的頻率模型其實(shí)就對(duì)應(yīng)了不同的圓周運(yùn)動(dòng)速度。圓周運(yùn)動(dòng)的速度越快，sin(t)的波形越窄。頻率的縮放有兩種模式
(a) 老式的收音機(jī)都是用磁帶作為音樂(lè)介質(zhì)的，當(dāng)我們快放的時(shí)候，我們會(huì)感覺(jué)歌唱的聲音變得怪怪的，調(diào)子很高，那是因?yàn)?quot;圓周運(yùn)動(dòng)"的速度增倍了，每一個(gè)聲音分 量的sin(t)輸出變成了sin(nt)。
(b) 在CD/計(jì)算機(jī)上面快放或滿放感覺(jué)歌手快唱或者慢唱，不會(huì)出現(xiàn)音調(diào)變高的現(xiàn)象：因?yàn)榭旆诺臅r(shí)候采用了時(shí)域采樣的方法，丟棄了一些波形，但是承載了信息的輸 出波形不會(huì)有寬窄的變化；滿放時(shí)相反，時(shí)域信號(hào)填充拉長(zhǎng)就可以了。
2. F變換得到的結(jié)果有負(fù)數(shù)/復(fù)數(shù)部分，有什么物理意義嗎?
解釋: F變換是個(gè)數(shù)學(xué)工具，不具有直接的物理意義，負(fù)數(shù)/復(fù)數(shù)的存在只是為了計(jì)算的完整性。
3. 信號(hào)與系統(tǒng)這們課的基本主旨是什么?
對(duì)于通信和電子類的學(xué)生來(lái)說(shuō)，很多情況下我們的工作是設(shè)計(jì)或者OSI七層模型當(dāng)中的物理層技術(shù)，這種技術(shù)的復(fù)雜性首先在于你必須確立傳輸介質(zhì)的電氣特性， 通常不同傳輸介質(zhì)對(duì)于不同頻率段的信號(hào)有不同的處理能力。以太網(wǎng)線處理基帶信號(hào)，廣域網(wǎng)光線傳出高頻調(diào)制信號(hào)，移動(dòng)通信，2G和3G分別需要有不同的載頻 特性。那么這些介質(zhì)(空氣，電線，光纖等)對(duì)于某種頻率的輸入是否能夠在傳輸了一定的距離之后得到基本不變的輸入呢? 那么我們就要建立介質(zhì)的頻率相應(yīng)數(shù)學(xué)模型。同時(shí)，知道了介質(zhì)的頻率特性，如何設(shè)計(jì)在它上面?zhèn)鬏數(shù)男盘?hào)才能大到理論上的最大傳輸速率?----這就是信號(hào)與 系統(tǒng)這們課帶領(lǐng)我們進(jìn)入的一個(gè)世界。
當(dāng)然，信號(hào)與系統(tǒng)的應(yīng)用不止這些，和香農(nóng)的信息理論掛鉤，它還可以用于信息處理(聲音，圖像)，模式識(shí)別，智能控制等領(lǐng)域。如果說(shuō)，計(jì)算機(jī)專業(yè)的課程是數(shù) 據(jù)表達(dá)的邏輯模型，那么信號(hào)與系統(tǒng)建立的就是更底層的，代表了某種物理意義的數(shù)學(xué)模型。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的知識(shí)能解決邏輯信息的編碼和糾錯(cuò)，而信號(hào)的知識(shí)能幫我們 設(shè)計(jì)出碼流的物理載體(如果接受到的信號(hào)波形是混亂的，那我依據(jù)什么來(lái)判斷這個(gè)是1還是0? 邏輯上的糾錯(cuò)就失去了意義)。在工業(yè)控制領(lǐng)域，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用前提是各種數(shù)模轉(zhuǎn)換，那么各種物理現(xiàn)象產(chǎn)生的連續(xù)模擬信號(hào)(溫度，電阻，大小，壓力，速度等) 如何被一個(gè)特定設(shè)備轉(zhuǎn)換為有意義的數(shù)字信號(hào)，首先我們就要設(shè)計(jì)一個(gè)可用的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型。
4. 如何設(shè)計(jì)系統(tǒng)?
設(shè)計(jì)物理上的系統(tǒng)函數(shù)(連續(xù)的或離散的狀態(tài))，有輸入，有輸出，而中間的處理過(guò)程和具體的物理實(shí)現(xiàn)相關(guān)，不是這們課關(guān)心的重點(diǎn)(電子電路設(shè)計(jì)?)。信號(hào)與 系統(tǒng)歸根到底就是為了特定的需求來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。設(shè)計(jì)出系統(tǒng)函數(shù)的前提是把輸入和輸出都用函數(shù)來(lái)表示(例如sin(t))。分析的方法就是把一個(gè)復(fù)雜 的信號(hào)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單的信號(hào)累加，具體的過(guò)程就是一大堆微積分的東西，具體的數(shù)學(xué)運(yùn)算不是這門課的中心思想。
那么系統(tǒng)有那些種類呢?
(a) 按功能分類: 調(diào)制解調(diào)(信號(hào)抽樣和重構(gòu))，疊加，濾波，功放，相位調(diào)整，信號(hào)時(shí)鐘同步，負(fù)反饋鎖相環(huán)，以及若干子系統(tǒng)組成的一個(gè)更為復(fù)雜的系統(tǒng)----你可以畫出系統(tǒng) 流程圖，是不是很接近編寫程序的邏輯流程圖? 確實(shí)在符號(hào)的空間里它們沒(méi)有區(qū)別。還有就是離散狀態(tài)的數(shù)字信號(hào)處理(后續(xù)課程)。
(b) 按系統(tǒng)類別劃分，無(wú)狀態(tài)系統(tǒng)，有限狀態(tài)機(jī)，線性系統(tǒng)等。而物理層的連續(xù)系統(tǒng)函數(shù)，是一種復(fù)雜的線性系統(tǒng)。
5. 最好的教材?
符號(hào)系統(tǒng)的核心是集合論，不是微積分，沒(méi)有集合論構(gòu)造出來(lái)的系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)用到的微積分便毫無(wú)意義----你甚至不知道運(yùn)算了半天到底是要作什么。以計(jì)算機(jī)的 觀點(diǎn)來(lái)學(xué)習(xí)信號(hào)與系統(tǒng)，最好的教材之一就是<<Structure and Interpretation of Signals and Systems>>，作者是UC Berkeley的Edward A.Lee and Pravin Varaiya----先定義再實(shí)現(xiàn)，符合人類的思維習(xí)慣。國(guó)內(nèi)的教材通篇都是數(shù)學(xué)推導(dǎo)，就是不肯說(shuō)這些推導(dǎo)是為了什么目的來(lái)做的，用來(lái)得到什么，建設(shè)什 么，防止什么；不去從認(rèn)識(shí)論和需求上討論，通篇都是看不出目的的方法論，本末倒置了。
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入門第三課 抽樣定理是干什么的
抽樣定理: 為什么要有抽樣定理? 為什么要抽樣? ----------------------------------------
1. 舉個(gè)例子，打電話的時(shí)候，電話機(jī)發(fā)出的信號(hào)是PAM脈沖調(diào)幅，在電話線路上傳的不是話音，而是話音通過(guò)信道編碼轉(zhuǎn)換后的脈沖序列，在收端恢復(fù)語(yǔ)音波形。那 么對(duì)于連續(xù)的說(shuō)話人語(yǔ)音信號(hào)，如何轉(zhuǎn)化成為一些列脈沖才能保證基本不失真，可以傳輸呢? 很明顯，我們想到的就是取樣，每隔M毫秒對(duì)話音采樣一次看看電信號(hào)振幅，把振幅轉(zhuǎn)換為脈沖編碼，傳輸出去，在收端按某種規(guī)則重新生成語(yǔ)言。
那么，問(wèn)題來(lái)了，每M毫秒采樣一次，M多小是足夠的? 在收端怎么才能恢復(fù)語(yǔ)言波形呢?
對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，我們考慮，語(yǔ)音信號(hào)是個(gè)時(shí)間頻率信號(hào)(所以對(duì)應(yīng)的F變換就表示時(shí)間頻率)把語(yǔ)音信號(hào)分解為若干個(gè)不同頻率的單音混合體(周期函數(shù)的復(fù)利葉 級(jí)數(shù)展開(kāi)，非周期的區(qū)間函數(shù)，可以看成補(bǔ)齊以后的周期信號(hào)展開(kāi)，效果一樣)，對(duì)于最高頻率的信號(hào)分量，如果抽樣方式能否保證恢復(fù)這個(gè)分量，那么其他的低頻 率分量也就能通過(guò)抽樣的方式使得信息得以保存。如果人的聲音高頻限制在3000Hz，那么高頻分量我們看成sin(3000t)，這個(gè)sin函數(shù)要通過(guò)抽 樣保存信息，可以看為: 對(duì)于一個(gè)周期，波峰采樣一次，波谷采樣一次，也就是采樣頻率是最高頻率分量的2倍(奈奎斯特抽樣定理)，我們就可以通過(guò)采樣信號(hào)無(wú)損的表示原始的模擬連續(xù) 信號(hào)。這兩個(gè)信號(hào)一一對(duì)應(yīng)，互相等價(jià)。
對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，在收端，怎么從脈沖序列(梳裝波形)恢復(fù)模擬的連續(xù)信號(hào)呢? 首先，我們已經(jīng)肯定了在頻率域上面的脈沖序列已經(jīng)包含了全部信息，但是原始信息只在某一個(gè)頻率以下存在，怎么做? 我們讓輸入脈沖信號(hào)I通過(guò)一個(gè)設(shè)備X，輸出信號(hào)為原始的語(yǔ)音O，那么I(*)X=O，這里(*)表示卷積。時(shí)域的特性不好分析，那么在頻率域 F(I)*F(X)=F(O)相乘關(guān)系，這下就很明顯了，只要F(X)是一個(gè)理想的，低通濾波器就可以了(在F域畫出來(lái)就是一個(gè)方框)，它在時(shí)間域是一個(gè) 鐘型函數(shù)(由于包含時(shí)間軸的負(fù)數(shù)部分，所以實(shí)際中不存在)，做出這樣的一個(gè)信號(hào)處理設(shè)備，我們就可以通過(guò)輸入的脈沖序列得到幾乎理想的原始的語(yǔ)音。在實(shí)際 應(yīng)用中，我們的抽樣頻率通常是奈奎斯特頻率再多一點(diǎn)，3k赫茲的語(yǔ)音信號(hào)，抽樣標(biāo)準(zhǔn)是8k赫茲。
2. 再舉一個(gè)例子，對(duì)于數(shù)字圖像，抽樣定理對(duì)應(yīng)于圖片的分辨率----抽樣密度越大，圖片的分辨率越高，也就越清晰。如果我們的抽樣頻率不夠，信息就會(huì)發(fā)生混 疊----網(wǎng)上有一幅圖片，近視眼戴眼鏡看到的是愛(ài)因斯坦，摘掉眼睛看到的是夢(mèng)露----因?yàn)椴粠а劬�，分辨率不�?抽樣頻率太低)，高頻分量失真被混入 了低頻分量，才造成了一個(gè)視覺(jué)陷阱。在這里，圖像的F變化，對(duì)應(yīng)的是空間頻率。
話說(shuō)回來(lái)了，直接在信道上傳原始語(yǔ)音信號(hào)不好嗎? 模擬信號(hào)沒(méi)有抗干擾能力，沒(méi)有糾錯(cuò)能力，抽樣得到的信號(hào)，有了數(shù)字特性，傳輸性能更佳。
什么信號(hào)不能理想抽樣? 時(shí)域有跳變，頻域無(wú)窮寬，例如方波信號(hào)。如果用有限帶寬的抽樣信號(hào)表示它，相當(dāng)于復(fù)利葉級(jí)數(shù)取了部分和，而這個(gè)部分和在恢復(fù)原始信號(hào)的時(shí)候，在不可導(dǎo)的點(diǎn) 上面會(huì)有毛刺，也叫吉布斯現(xiàn)象。
3. 為什么傅立葉想出了這么一個(gè)級(jí)數(shù)來(lái)? 這個(gè)源于西方哲學(xué)和科學(xué)的基本思想: 正交分析方法。例如研究一個(gè)立體形狀，我們使用x,y,z三個(gè)互相正交的軸: 任何一個(gè)軸在其他軸上面的投影都是0。這樣的話，一個(gè)物體的3視圖就可以完全表達(dá)它的形狀。同理，信號(hào)怎么分解和分析呢? 用互相正交的三角函數(shù)分量的無(wú)限和：這就是傅立葉的貢獻(xiàn)。
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