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幾個概率論小問題

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ID:127437 發(fā)表于 2016-6-20 21:56 | 只看該作者 回帖獎勵 |倒序?yàn)g覽 |閱讀模式
(本文屬于簡單科普,各位專家請繞道。。)

    下面幾個簡單的小問題讓你確認(rèn)一下你對概率論的理解。
    不要想當(dāng)然!要不然你會被你自己嚇到。

    1.戴夫有兩個孩子,有一個是男孩,另一個是女孩的概率是多少?


        很多人肯定會認(rèn)為這個概率是1/2,但這種想法并不正確。記男孩為b,女孩記為g,你的概率空間Ω={gg,gb,bg,bb},所求概率是條件概率,即在{gb,bg,bb}中的有g(shù)的概率,正確答案是2/3。


    2.鮑勃有兩個孩子,有一個是在晚上出生的男孩,另一個是男孩的概率是多少?(假設(shè)鮑勃家在赤道上,白天夜晚均等。)


        根據(jù)上一題的經(jīng)驗(yàn),很多人肯定會以為答案是1/3,白天出生和晚上出生能有什么鬼差別?事實(shí)上并非如此,正確答案是3/7.


    3.柯西有兩個孩子,有一個是在星期二出生的女孩,另一個也是女孩的概率是多少?


        正確答案是13/27,不解釋。


    4.有這樣一個游戲:投一個硬幣,如果不是正面就一直投下去。記直到正面投的次數(shù)為X,你將獲得2的X次方元的錢。
        (1).從概率論的角度,平均每一玩次你能獲得多少錢?
如果該游戲定價100000元玩一次,你愿意玩嗎?為什么?
        (3).如果讓你來給該游戲定個數(shù)學(xué)上公平合理的價格(按數(shù)學(xué)期望計(jì)算),你將定價多少?


        連續(xù)投X次的概率應(yīng)為2^(-X),此時獲得2^X元,獲得的錢的期望值就是 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = 無窮大。從期望值的角度,你應(yīng)該玩這個游戲,但是你肯定不會愿意去玩的,因?yàn)槠鋵?shí)得不到多少錢。

        同理,如果要定一個公平的價格,那么價格應(yīng)定為期望值,也就是無窮大。但是每次你只能獲得有限的錢,為什么要花無窮多的錢去玩這個游戲呢?(這叫圣彼得堡悖論)


    5.經(jīng)典的三門問題:主持人身后有三個門,其中有一個門里面是高級汽車,另外的門里面都是山羊。主持人會讓你先選一扇門,然后他會為你揭曉一扇山羊的門(你之前所選的那扇門不會被打開)。請問這個時候,你要不要換選另外一扇沒有打開的門?還是保留原來的選擇?


        多數(shù)人可能會認(rèn)為換不換都一樣,有些人還堅(jiān)持不換更好。
        正確答案應(yīng)該是換一扇門,勝算更大。
        不換:你贏的概率是1/3,他開門不影響這個概率。
        換:如果你選的門后面是車(1/3 的可能性),換就輸了。但是如果你的門后面是羊(2/3),換就一定會贏,也就是說,如果你換,你贏的概率就是2/3.
     



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