一個有趣的恒等式問題

ID:127437 · 發(fā)表于 2016-6-20 21:57

設(shè)n是一個正整數(shù)，直接證明下等式，不允許直接求和。

這個問題和數(shù)學里曾經(jīng)的直接證明

也就是

的問題也許有一定類似之處，但應該不如那個深刻。

大家好像沒有明白這個問題的含義。重點在于，就像問題 2Zeta(2)^2 = 5Zeta(4) 的直接證明那樣（歐拉在17++年曾直接得出過Zeta(2)和Zeta(4)的值，但是其“直接證明”（即運用Zeta(2)來計算Zeta(4)，不允許直接求和）在幾百年內(nèi)都沒有找到，好像這種恒等式居然“沒有”直接證明似的，甚至尋找其直接的、初等的證明在數(shù)論中未解決的問題上很長時間作一直為一個問題出現(xiàn)。（1992年才被證出）），這個問題也有類似含義。關(guān)鍵在于，我們要的不是通過計算兩個和式來得到答案，更不是要你運用你的等冪求和或數(shù)學歸納法的知識，

我們要的是這個看似是“巧合”：三次和剛好等于一次和的平方的內(nèi)在原因！

（下面這個只是個優(yōu)美的配圖，基本上是不符合要求的解答）

注：對于上圖的證明，盡管他沒有用到 Σk^3，但他似乎用到了Σk=n(n+1)/2的事實。而且他這個證明基本上是已經(jīng)把 Σk^3 的公式求了出來，違背了我們的證明要求。。。。

總之，希望大家一起幫忙找一種優(yōu)美的證明來。我目前還沒有找到。。。。

最后Remark：這個問題也就是說，希望能找到一種優(yōu)美的直接證明

的方法。

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