關(guān)于雞兔同籠與二元一次方程的笑談——非常淺地談數(shù)學(xué)的內(nèi)涵

ID:127437 · 發(fā)表于 2016-6-20 22:00

注：本文不適合有一定數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)理解的人和數(shù)學(xué)專家閱讀。
關(guān)于雞兔同籠問(wèn)題，有一個(gè)傳的很廣的笑話。原文照搬如下：

雞和兔15只，共有40只腳，雞和兔各幾只？算法：假設(shè)雞和兔訓(xùn)練有素，吹一聲哨，抬起一只腳，40－15＝25。再吹哨，又抬起一只腳，25－15＝10，這時(shí)雞都一屁股坐地上了，兔子還兩只腳立著。所以，兔子有10÷2＝5只，雞有15－5＝10只。這種算法，讓二元一次方程情何以堪。…

說(shuō)實(shí)話，我看了之后確實(shí)笑了，但不是因?yàn)檫@個(gè)笑話本身好笑，而是這個(gè)笑話，以及作出這個(gè)笑話的人對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)不夠。
在本文中，我將向您揭示這個(gè)笑話的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，并由此簡(jiǎn)要地、非常淺地談一下數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，這包括代數(shù)與實(shí)際之間的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)是如何抽象生活中的概念的。最后，您將能知道如何將一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的代數(shù)解法轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)算術(shù)解法。

首先，讓我們來(lái)回顧一下這個(gè)問(wèn)題的二元一次方程的解法。
設(shè)雞x只，兔y只，則x與y滿足如下方程：

x + y = 15  (1)
2x + 4y = 40  (2)

現(xiàn)在，我們?nèi)缦逻M(jìn)行：
      將（2）式連續(xù)減去兩次（1）式
         第一次減得到 x + 3y = 25
         第二次減得到 2y = 10
         故 y = 5。
         因此 x = 15 - y = 10。

我想，有一定觀察能力的人已經(jīng)看出問(wèn)題來(lái)了。是的，這兩個(gè)解法完全是一樣的，不僅如此，二元一次方程反而更加簡(jiǎn)潔，無(wú)論是在運(yùn)算還是在思路上都更加簡(jiǎn)單、清晰、容易接受。問(wèn)題就出在很多人沒(méi)有真正理解在數(shù)學(xué)語(yǔ)言——數(shù)學(xué)是抽象的語(yǔ)言，它不代表具體事物，而是可以代表任何事物，甚至于數(shù)學(xué)本身！——如果我把雞和兔換成圓規(guī)和方桌呢？
二元一次方程哪里會(huì)“情何以堪”，他正在哈哈大笑呢！他會(huì)說(shuō)：“笑的就是那些沒(méi)有真正理解我，反而嘲笑我的人�！�

事實(shí)上，從代數(shù)的語(yǔ)言，我們還可以得到許多看起來(lái)是“完全不同的、更加奇思妙想”的解法。下面再擺這兩個(gè)方程：

x + y = 15  (1)
2x + 4y = 40  (2)

現(xiàn)在，我們用另外的方法解它：
      將（2）式除以2
         x + 2y = 20
      將上式減去(1)
         y = 5
      由此得
         x = 15 - y = 10

上面的解法不難變成如下“奇思妙想”的解法：

讓雞和兔各自抬起一半的腳，此時(shí)雞一只腳支地，兔兩只腳，因此兔數(shù)等于腳數(shù)減去頭數(shù)，得5，故兔5只，雞15-5=10只。

下面再擺這兩個(gè)方程：

x + y = 15  (1)
2x + 4y = 40  (2)

現(xiàn)在，我們用另外的方法解它：
      將從1中解出y
         y = 15 - x
      將上式代入(2)
         2x + 4×(15 - x) = 40
         (2 - 4)x + 4×15 = 40
         (4 - 2)x = 4×15 - 40
         x = (4×15 - 40)÷(4 - 2)
            = 10

上面的解法不難變成如下“奇思妙想”的解法：

給每只雞或兔都戴一個(gè)“四腳帽”，“頭上面的腳”的總和就會(huì)比真正的腳多出兩倍雞的數(shù)量，因此減出雞10只，兔15-10=5只！

事實(shí)上，我們只不過(guò)是把題目
      雞和兔15只，共有40只腳，雞和兔各幾只？
改成如下陳述：
      雞 + 兔 = 15
      2雞 + 4兔 = 40
而已，這個(gè)陳述顯然跟原題目沒(méi)有區(qū)別（等價(jià)）。而“雞”在這里完全可以抽象為“x”，因?yàn)槲覀冴P(guān)心的只是雞的個(gè)數(shù)而非實(shí)際的雞。
x + y = 15
2x + 4y = 40
對(duì)x和y的每一個(gè)操作，包括加一，乘二，除二，開(kāi)方等等，都有其實(shí)際的內(nèi)涵在里面�？上н@種對(duì)代數(shù)方程再簡(jiǎn)單不過(guò)的理解，我們的教材不講，老師也不談，最后造成了這個(gè)笑話的產(chǎn)生。

每一個(gè)等式，都是一個(gè)內(nèi)涵。
      比如下面這個(gè)等式展示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單而美麗既深刻又豐富的內(nèi)涵：

（注：這個(gè)簡(jiǎn)單的等式并非來(lái)自代數(shù)，在16~17世紀(jì)就被發(fā)現(xiàn)了（據(jù)說(shuō)萊布尼茲（他不是最先發(fā)現(xiàn)該公式的人）因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)這個(gè)公式，深感自然界的神秘，便決心從律師轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)家去從事數(shù)學(xué)研究了。）。但令人感到神秘和驚訝的是幾百年后人們發(fā)現(xiàn)它與 Q(√-1) 的類數(shù)為1有關(guān)，而后者屬于代數(shù)與整數(shù)的深處。）

我們以高斯的一句名言結(jié)尾：“數(shù)學(xué)中重要的是概念而不是記號(hào)�！�

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