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如果你要計(jì)算開(kāi)方的近似值，不用計(jì)算器，你會(huì)怎么算呢？如果你一籌莫展，這里有幾種好的方法。
我們以√7的計(jì)算為例�！�7 ≈ 2.64575131106459
1.二分法。
胡老師介紹過(guò)，如：計(jì)算√7，我們知道它在2與3之間，
第1次計(jì)算，取中點(diǎn)2.5，則2.5^2 = 6.25，知√7在2.5與3之間。
第2次計(jì)算，取中點(diǎn)2.75，則2.75^2 = 7.5625，知√7在2.5與2.75之間。
第3次計(jì)算，取中點(diǎn)2.625，則2.625^2 = 6.890625，知√7在2.625與2.75之間。
第4次計(jì)算，取中點(diǎn)2.6875，則2.6875^2 = 7.22265625，知√7在2.625與2.6875之間。
第5次計(jì)算，取中點(diǎn)2.65625，則2.65625^2 = 7.0556640625，知√7在2.625與2.65625之間。
第6次計(jì)算，取中點(diǎn)2.640625，則2.640625^2 = 6.972900390625，知√7在2.640625與2.65625之間。
第7次計(jì)算，取中點(diǎn)2.6484375，則2.6484375^2 = 7.01422119140625，知√7在2.640625與2.6484375之間。
第8次計(jì)算，取中點(diǎn)2.64453125，則2.64453125^2 = 6.99354553222656，知√7在2.64453125與2.6484375之間。
第9次計(jì)算，取中點(diǎn)2.646484375，則2.646484375^2 = 7.00387954711914，知√7在2.64453125與2.646484375之間。
第10次計(jì)算，取中點(diǎn)2.6455078125，則2.6455078125^2 = 6.99871158599854，知√7在2.6455078125與2.646484375之間。
第11次計(jì)算，取中點(diǎn)2.64599609375，則2.64599609375^2 = 7.00129532814026，知√7在2.6455078125與2.64599609375之間。
第12次計(jì)算，取中點(diǎn)2.645751953125，則2.645751953125^2 = 7.00000339746475，知√7在2.6455078125與2.645751953125之間。
……（以上計(jì)算過(guò)程由計(jì)算機(jī)程序給出……）
原理：二分法。
（優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單；缺點(diǎn)：計(jì)算量很大、過(guò)于原始、收斂速度非常慢）
2.列豎式開(kāi)方
2. 6 4 5
____________
√7.00 00 00
4
40 ------------ (注：40來(lái)自于2*20)
3 00
2 76 (40 * 6 + 6^2 = 276)
520 ------------ (520來(lái)自于26*20)
24 00
20 96 (520 * 4 + 4^2 = 2096)
5280 ------------- (5280來(lái)自于264*20)
3 04 00
2 64 25 (5280 * 5 + 5^2 = 26425)
……
原理：(10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2
(優(yōu)點(diǎn)：無(wú)需估計(jì)區(qū)間，可直接計(jì)算結(jié)果。缺點(diǎn)：后期計(jì)算量極大，且方法繁雜，難以進(jìn)行，易出錯(cuò)）
3.“公式”法
__ x k
√k ≈ ----- + ------
2 2x
其中x是√k 的估計(jì)值，k是被開(kāi)方數(shù)。
（這個(gè)公式是用微分的線性近似法推導(dǎo)出來(lái)的。原本的公式有一個(gè)平方的計(jì)算，為了避免計(jì)算平方，我把分式拆開(kāi)了。這可能是所有方法中最好的）
例：√7
估 x=2.5 ,則
√7 ≈ 2.5/2 + 7/5 = 2.65 (2.65^2 = 7.0225)
再估 x=2.65，則
√7 ≈ 2.65/2 + 7/5.3 ≈ 2.645754 （2.645754^2 ≈ 7.000014228516)
若再估 x=2.64575，則√7≈2.64575/2 + 7/5.2915 = 2.6457513110649
（2.6457513110649^2 ≈ 7.00000000000171889 ，可以看到，已經(jīng)非常精確了）
原理：線性近似，作出 y=√x 在估計(jì)值x0處的切線，并令Δx=(x-x0)，則y(x) ≈ y(x0) + y'(x0) * (x-x0)
(優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算非常簡(jiǎn)單，收斂速度快，一般計(jì)算幾次就可以得到很精確的值；缺點(diǎn)：需要給出估計(jì)值）
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