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Δy
slope = -----
Δx 其中Δ表示某個(gè)變量的增量。比如說，
當(dāng)x增加一小段，比如增加了2，此時(shí)y
也必然增加了一小段，比如1之類的，
那么增加的這一段的平均斜率就是：
Δy 1
slope = ----- = ---
Δx 2
這跟平均速度的計(jì)算 v=s/t 很像，
（事實(shí)上完全相同）
（注：對(duì)于一次函數(shù) y = ax + b ,a就是它的斜率。 【注中注：這很明顯，因?yàn)槿绻鹸增加一段，比如增加了Δx， 那么Δy = a(x+Δx)+b-ax-b =ax+aΔx 斜率slope = Δy/Δx = a】 斜率的取值與b無關(guān)，因?yàn)橹罢f過，
速度的取值與起點(diǎn)無關(guān)。）
哦，這簡(jiǎn)直像是在做代數(shù)運(yùn)算，找不到微積分的影子。如果你前面的準(zhǔn)備工作做好了，那么繼續(xù)請(qǐng)往下看，下面我將引入微分學(xué)最核心也是最有趣的部分。。
現(xiàn)在的問題是，我有一個(gè)函數(shù)（或者我的路程與時(shí)間的關(guān)系）是y=x，有沒有辦法可以
求出我在x=1這一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度呢？（即能否做出x=1這點(diǎn)的切線。）
“這一點(diǎn)的切線？天方夜譚！”你可能會(huì)發(fā)出這樣的感嘆。事實(shí)上一開始，數(shù)學(xué)家們碰到這樣的問題時(shí)也頭疼不已。但是他們找到了一種補(bǔ)救方法，就是：讓x=1增加Δx，求出這一段的平均斜率，用平均斜率來近似的代替這一點(diǎn)的斜率。增加之后的就是1+Δx，則
y的增加量為：
2
Δy = (1+Δx) - 1
所以這一段（1, 1+Δx）的平均斜率就是：
2 2
Δy (1+Δx) - 1 2Δx + (Δx)
slope= ---- = ----------- = ------------
Δx Δx Δx
= 2 + Δx
我們知道，如果Δx越小，則得到的斜率越接近于這一點(diǎn)的真實(shí)斜率，而在上式中，我們發(fā)現(xiàn)如果讓?duì)趨向于0，Δx就會(huì)消失！所以最終的結(jié)果很漂亮，這一點(diǎn)的斜率是2！
那么，對(duì)于任一點(diǎn)x ，函數(shù)y=x^2的斜率能求出嗎？ 當(dāng)然能！這種情況不過是上面的情況的推廣：
2 2 2
Δy (x+Δx) - x 2Δx + (Δx)
slope= ---- = ------------- = ---------------
Δx Δx Δx
= 2x + Δx
令Δx→0 （意思是讓?duì)趨向于0），上式 = 2x 。即對(duì)于任意一點(diǎn)x，函數(shù)y=x^2的斜率是2x 。
那么一開始的問題我們就解決了：
（問題：）
（解答：）
【解釋：函數(shù)y=x^2在x點(diǎn)的切線的斜率是2x。
（如果你的路程函數(shù)是x^2，你的速度函數(shù)就是2x。像這樣，知道路程函數(shù)，求得速度函數(shù)的過程就叫求導(dǎo)，這個(gè)“速度”函數(shù)就叫這個(gè)“路程”函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 。
dy
函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)記作 y' 或 ---- （讀作“d y d x”,不讀分?jǐn)?shù)線。）。
dx
(即y=x^2，則y'=2x)
】
不管你信不信，你已經(jīng)初步理解了微分學(xué)中的導(dǎo)數(shù)的概念！是不是很簡(jiǎn)單？
【注：本文介紹的求導(dǎo)的過程實(shí)際上是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)�，因�(yàn)閷?dǎo)數(shù)的嚴(yán)格的定義是由極限給出的，而本篇沒有介紹極限，也沒有給出“連續(xù)”
的含義 】
下面寫出幾個(gè)常見的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這些公式、求導(dǎo)法則可以直接用，沒必要每次都去推導(dǎo)一次。
常函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)：
y = C y' = 0 (C為常數(shù))
冪函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)：
n n-1
y = x 則 y' = nx (n為常數(shù))
【注：√x = x^0.5 ，根號(hào)也可以用這個(gè)求導(dǎo)法則，(√x)' = 1/(2√x) 】
例：y = x^2 + 2x + 3 ，求它的導(dǎo)數(shù)？
y'=2x + 2
例：y = 2x^100 ，求它的導(dǎo)數(shù)？
y'=2*100x^99 =200x^99
一般指數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)：
x x
y = a y' = a * ln a (a為常數(shù))
指數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)：
x x
y = e y' = e
求導(dǎo)的加法法則：
(f + g)' = f' + g'
求導(dǎo)的乘法法則：
(f*g)' = f'g + f g'
求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t（重要�。�
f[g(x)] ' = f'[g(x)]*g'(x)
【
解釋鏈?zhǔn)椒▌t：
鏈?zhǔn)椒▌t是用于遇到“復(fù)合函數(shù)”的求導(dǎo)時(shí)才用的，至于復(fù)合函數(shù)，是指一個(gè)函數(shù)“嵌套”在另一個(gè)函數(shù)里面。比如：
_____
y=√2x+1 ，是由根號(hào)函數(shù)y=√x 和線性函數(shù)y = 2x+1 "復(fù)合"而成的。對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，先對(duì)“外函數(shù)”求導(dǎo)，再把“內(nèi)函數(shù)”的導(dǎo)數(shù)乘在外面。
比如 _____ _____ 1 y=√2x+1 ，外函數(shù)是√2x+1 ,內(nèi)函數(shù)是2x+1，外函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是 --------- ,內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是2,因此這個(gè)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是
_____
2√2x+1
1 1
y' = --------- × 2 = ----------
_____ ______
2√2x+1 √2x+1
】
(以上法則有些看不懂沒關(guān)系)
導(dǎo)數(shù)的用途
導(dǎo)數(shù)是微積分的重要概念和基礎(chǔ)。不過，你是否疑惑“導(dǎo)數(shù)除了做切線還能干什么用”，事實(shí)上導(dǎo)數(shù)非常有用而且其樂無窮，用途廣泛。這里僅舉2個(gè)簡(jiǎn)單的例子說明（這只是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的冰山一角）：
1.物理應(yīng)用：在物理里，如果一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的函數(shù)為s，則速度函數(shù)是s的導(dǎo)數(shù)。即 v = s'
2.函數(shù)應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)可以用來作切線，可以求出函數(shù)的 極大/極小值 點(diǎn)。因?yàn)楹瘮?shù)的極大/極小值點(diǎn)上的切線的斜率為0，所以對(duì)于一個(gè)函數(shù)y，只要求出其導(dǎo)數(shù)y' ，其最大最小值一定在方程y'=0的解上。
例：求函數(shù) y = x^3 - x^2 的極值？
易得其導(dǎo)數(shù) y' = 3x^2 - 2x
令y' = 0 即 解方程 3x^2-2x = 0 解得 x = 0 或 x= 2/3
根據(jù)圖像可以看出x=0是極大值，x=2/3是極小值。
如果你知道“二階導(dǎo)數(shù)”這一概念，你可以用二階導(dǎo)數(shù)判斷極大值和極小值而無需畫圖。。而且極值點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)不能為0，否則不是極值。當(dāng)然，在不清楚二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，你可以用作圖來輔助。
3.計(jì)算應(yīng)用：（傳說中的線性近似）導(dǎo)數(shù)可以用來計(jì)算近似值。
10
例：計(jì)算 0.995
選取函數(shù) y = x^10 ，發(fā)現(xiàn)x=0.995這一點(diǎn)跟x=1這一點(diǎn)很接近。我們作出其導(dǎo)數(shù)y' = 10x^9 ，
線性近似的概念就是用這一點(diǎn)x=1的切線去逼近x=0.995的值。
易知，x=1時(shí)y'=10，即這一點(diǎn)切線斜率為10, 這一點(diǎn)與x=0.995的差距是(1-0.995)=0.005，我們從x=1點(diǎn)開始，按照這一點(diǎn)的切線方向后退0.005，即Δx= -0.005，那么Δy=10 * -0.005 = -0.05，也就是說，按照切線方向，x下降了0.005，y也下降了0.05。
所以計(jì)算出的近似值就是 1 - 0.05 = 0.95
10
即 0.995 ≈ 0.95
如果你用計(jì)算器來檢驗(yàn)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)計(jì)算器的結(jié)果是 0.9511101305，和我們計(jì)算的結(jié)果非常接近。這就是微分（導(dǎo)數(shù)）在近似計(jì)算中的應(yīng)用。
*例2：計(jì)算√2 的近似值 1
選取函數(shù)y = √x , y' = ------
2√x
我們知道，1.4^2=1.96，（即√1.96 = 1.4）。 1.96跟2很接近，所以我們就用x=1.96這一點(diǎn)的切線來近似x=2的值。
y'在1.96的取值y'(1.96) = 1/(2*1.4) ≈ 0.357，這是x=1.96這一點(diǎn)的切線。
現(xiàn)在讓x增加0.04，則y就會(huì)增加0.04*0.357 = 0.01428
所以√2 ≈ 1.4+0.1428 = 1.41428
如果你用計(jì)算器來檢驗(yàn)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣做精確度還是很不錯(cuò)的：√2 = 1.414213562 ，精確到了小數(shù)點(diǎn)后4位。
4.工程應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)可以解方程（詳細(xì)過程略，參見“牛頓法解方程”）
5.經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用：經(jīng)濟(jì)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)稱為“邊際函數(shù)”，是一個(gè)重要而基礎(chǔ)的概念。
……
……等等等等……
有趣的問題，這也是微積分的實(shí)用之處：
R博士的家在A點(diǎn)。每天，R博士都要開著小汽車去他的公司C上班。他以前一直都是這樣走的：先從家垂直的開到B點(diǎn)，然后進(jìn)入公路，再開到C點(diǎn)。其中AB=30km,CB=60km,R博士的汽車在公路CB上速度可以達(dá)到60km/h，但是在非公路地段只有30km/h。有一天R博士突發(fā)奇想，發(fā)現(xiàn)如果以某個(gè)角度開到某個(gè)P點(diǎn)進(jìn)入公路，他所用的時(shí)間將大大縮短。不過現(xiàn)在R博士搞不清BP取多少時(shí)，他用的時(shí)間會(huì)最短。你能幫他確定這個(gè)BP的長(zhǎng)度嗎？
如果設(shè)PB = x km，CP = 60-x
由勾股定理可得，AP= _________ √900 + x2
汽車在AP這段速度是30km/h，在CP這段速度是60km/h，所以可得R博士所需時(shí)間T與BP(x)的取值的函數(shù)關(guān)系： __________ √900 + x^2 60 - x T = ------------ + -------- 30 60
這不過是在求一個(gè)函數(shù)的極值。首先對(duì)它求導(dǎo)：
(注：這個(gè)2x↓是因?yàn)殒準(zhǔn)椒▌t。內(nèi)函數(shù)900 + x^2 的導(dǎo)數(shù)是2x，對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)要乘在外面。現(xiàn)在不懂也沒有太大的關(guān)系)
2x 1
T' = ----------------- - ------
________ 60
30 * 2√900+x^2
令T' = 0，解方程：
2x 1 ----------------- = ------
________ 60
30 * 2√900+x^2
約分：
x 1 ----------------- = ------
________ 60
30 * √900+x^2
交叉相乘得 ：
________
30√900+x^2 = 60x
兩邊約去30：
________ √900+x^2 = 2x
兩邊同平方：
900+x^2 = 4x^2
移項(xiàng)：
3x^2 = 900
約分：
x^2 = 300
直接開方法（舍去負(fù)根）：
____ ______ __
x = √300 = √100*3 = 10√3 ≈ 17.32 km
所以，BP應(yīng)取17.32 km。R博士應(yīng)從這個(gè)P點(diǎn)進(jìn)入公路。
【注：嚴(yán)格的數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)被定義如下：
函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)dy/dx為：
dy Δy f(x+Δx) - f(x)
---- = lim ------ = lim ----------------
dx Δx→0 Δx Δx→0 Δx
在數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)被定義為一個(gè)分式Δy/Δx 的極限。 因此導(dǎo)數(shù)又稱為“微商”。
】
瞧，微積分在生活中也可以有應(yīng)用，這也是微積分的實(shí)用之處。數(shù)學(xué)是有趣而美妙的。你是否這樣覺得呢？（：……這篇文章我是希望盡量寫的通俗易懂，但由于本人水平十分有限，不免有許多錯(cuò)誤及不足之處，或者你仍然看不懂這篇文章，還請(qǐng)各位見諒。。）
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