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卡爾曼濾波最詳細(xì)易懂的理解.pdf
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2017-8-19 22:32 上傳
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下面是部分內(nèi)容預(yù)覽（個人覺得寫得很好，很有用）：
不好意思，由于工作繁忙和文章不好組織的原因，拖了 2 個星期才更新。這一章要系統(tǒng)地去解釋卡爾 曼濾波，這個解釋應(yīng)該是網(wǎng)上所有文章里面寫得最兼顧詳細(xì)和易懂的，但是卡爾曼濾波還是一個比較系統(tǒng) 的工程，需要讀者具備一定的耐心。
卡爾曼濾波有五個最基本的公式，我們將對其一一解讀。
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2017-8-20 03:17 上傳
以上的公式看著很嚇人，但我將會對其進行通俗講解，看完會有滿滿收獲，所以請別跑開。
沒讀過本公眾號前兩篇文章的讀者最好先讀一下，可以方便理解這一篇文章，公眾號名稱是“電子搬 磚師”，可以用微信關(guān)注閱讀。本公眾號前兩篇文章都只是講如何用卡爾曼濾波對單種數(shù)據(jù)進行濾波處理， 然而工程上往往有多種數(shù)據(jù)需要同時濾波處理，比如加速度傳感器可以測量 3 個維度的加速度信息，這就 有 3 種信號需要做濾波處理。假設(shè)我們要對 n 種數(shù)據(jù)做卡爾曼濾波，我們應(yīng)該怎么做呢？
我們可以用單種信號的卡爾曼濾波方程，連續(xù)寫 n 次，然后求取每種信號各自的濾波值。但是這么多
個方程寫出來會很龐大，因此我們就用矩陣的方式來描述，矩陣可以將 n 個方程組整合成一個方程，如下圖所示：
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2017-8-20 02:56 上傳
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2017-8-20 02:56 上傳
圖中 n 個方程組最終化簡成一個矩陣表達(dá)式：AX=B，矩陣表示是不是很簡潔？卡爾曼濾波的五個基本 公式中的 X,A,B,U,P,Q,Kg,H,R,Z,I 就都是矩陣，即五個公式其實是五個方程組。
這里還需要知道一個概念叫向量，向量是一維的矩陣，如下圖所示：
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2017-8-20 02:57 上傳
卡爾曼濾波的五個公式中的 X,U,Z 都是一維矩陣，也就是向量。 最后還需要知道一個概念叫做矩陣轉(zhuǎn)置，如下圖所示：
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2017-8-20 02:57 上傳
至此我們擁有了可以理解卡爾曼濾波最基礎(chǔ)的條件了，我們正式進入正題。 我們開始理解第一個公式：X(k|k − 1) = AX(k − 1|k − 1) + BU(k − 1)。 假設(shè)你要對飛機的歐拉角進行卡爾曼濾波，你可以用傳感器先獲取到一個歐拉角和角速度的初始值，
并把這個值當(dāng)做上一時刻(k-1)的值，然后根據(jù)上一時刻(k-1)的值你可以估計出這一時刻(k)飛機的歐拉角為：
Pitch(k)=Pitch(k-1)+GyroY(k-1)*dt Roll(k)=Roll(k-1)+GyroX(k-1)*dt Yaw(k)=Yaw(k-1)+GyroZ(k-1)*dt
Pitch 是俯仰角，GyroY 是俯仰角對應(yīng)的角速度，dt 是 k-1 到 k 的時間
Roll 是滾轉(zhuǎn)角，GyroX 是滾轉(zhuǎn)角對應(yīng)的角速度，dt 是 k-1 到 k 的時間 Yaw 是偏航角，GyroZ 是偏航角對應(yīng)的角速度，dt 是 k-1 到 k 的時間 我們想辦法將上面的方程組簡化成矩陣表示：
設(shè)(k|k-1)代表這一時刻根據(jù)上一時刻的估計值，(k-1|k-1)代表上一時刻卡爾曼處理得到的最優(yōu)值（這 里由于才開始第一輪的濾波準(zhǔn)備，沒有上一時刻卡爾曼處理得到的最優(yōu)值，就將 k-1 時刻測量到的值直接 當(dāng)做最優(yōu)值），(k-1)是上一時刻實測值，令：
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2017-8-20 02:58 上傳
則上面三個方程組就可以表示為X(k|k − 1) = AX(k − 1|k − 1) + BU(k − 1)，請注意這里 A 與 B 不一
定要是對角線才有值的矩陣，只是在這個簡單例子中是這樣的。 其中：
X(k|k − 1)就是指根據(jù)上一時刻估計出這一時刻的估計值向量。
A 是上一時刻狀態(tài)轉(zhuǎn)移到這一時刻狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。
X(k − 1|k − 1)是上一時刻的最優(yōu)值向量，如果卡爾曼濾波是第一次執(zhí)行，就不存在上一時刻處理得到 的最優(yōu)值，只能推薦將傳感器上次獲取到的值當(dāng)做最優(yōu)值。
B 是控制量矩陣。
U(k − 1)是上一時刻控制量測量值向量。 至此，第一個公式已經(jīng)理解。
我們開始理解第二個公式：
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2017-8-20 02:59 上傳
回到 n 種數(shù)據(jù)做卡爾曼濾波的主題。依據(jù) k-1 時刻的值我們可以得到 k 時刻的估計值，但是這個估計 值和真實世界的值含有兩種誤差，一種誤差是 k-1 時刻真實世界值 X(k-1)和最優(yōu)值 X(K-1|K-1)之間的誤差， 還有一種誤差是控制量及其對時間積分造成的誤差，后者誤差我們用誤差向量 W(k-1)表示：
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2017-8-20 03:00 上傳
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2017-8-20 03:02 上傳
至此，第二個公式已經(jīng)理解。 這回特殊，我們要先理解第四個公式，后面會再回頭理解第三個公式，原因后面看著看著就能明白了。
第四個公式是：X(k|k) = X(k|k − 1) + Kg(k)(Z(k) − HX(k|k − 1))
在理解第四個公式前，需要拿傳感器先測量下這一時刻的值，設(shè)這一時刻傳感器的測量數(shù)據(jù)向量為 Z(k)。 由于有些時候 X(k)向量中有一些元素是沒法用傳感器直接測量得到的，但是這個元素又可以利用傳感器的 其它測量值推算出來，因而我們將這一時刻傳感器的測量數(shù)據(jù)向量定義為：
Z(k) = HX(k) + V(k)
其中 H 就可以修飾 X(k)中某些元素不能通過傳感器直接測量得到，通常 H 矩陣的斜對角元素是由 0 和
1 構(gòu)成的，0 就代表對應(yīng)元素?zé)o法用傳感器直接測量，1 代表對應(yīng)元素可以用傳感器直接測量。V(k)向量代 表傳感器測量誤差，比如稱重秤的誤差為 10g，這 10g 就是這個 V(k)。
那這第四個公式在邏輯上就很好理解。先用這一時刻傳感器的測量值減去根據(jù)上一時刻估計出來的值， 得到殘差，然后用一個比例系數(shù)矩陣 Kg 乘上這個殘差，再加上根據(jù)上一時刻的估計值，就可以得到這一時刻最有可能的值，也就是最優(yōu)值。這個最優(yōu)值既不完全相信傳感器，也不完全相信估計值，只要控制好比
例系數(shù)，就能得到最適合的值。 至此，第四個公式已經(jīng)理解。 我們開始理解第五個公式：P(k|k) = (I − Kg(k)H)P(k|k − 1)。
回顧下之前第二個公式中的 P(k|k-1)，是代表上一時刻的估計值和此刻真實世界值的誤差的方差。而
P(k|k)代表此刻計算得到的最優(yōu)值和此刻真實世界值的誤差的方差。
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2017-8-20 03:03 上傳
由于卡爾曼濾波是一個不斷減小最優(yōu)值和此刻真實世界值的誤差的方差的過程，P(k|k)是最優(yōu)值和此 刻真實世界值的誤差的方差矩陣，其對角線元素就是各個元素各自的誤差的方差。為了讓所有元素的方差 最小，我們把每個元素的方差都加起來，即把 P(k|k-1)的對角元素方差加起來，求取總的方差值，只要方差 值總和最小，則就實現(xiàn)了最優(yōu)值和此刻真實世界值的誤差的方差最小化的目的。將方差矩陣對角元素相加 的做法也稱為矩陣的跡，通常用 tr 表示。則:現(xiàn)在，這個由方差矩陣對角元素總和組成的tr,P(k|k)-函數(shù)需要取最小值，他的大小收到 Kg(k)這個權(quán) 重矩陣的影響，我們必須找到最適合的 Kg(k)使得和值最小。
數(shù)學(xué)上有導(dǎo)數(shù)為 0 取極值的方法，如下圖所示：
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