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拉普拉斯變換提供了一種變換定義域的方法,把定義在時(shí)域上的信號(hào)（函數(shù)）映射到復(fù)頻域上（要理解這句話,需要了解一下函數(shù)空間的概念--我們知道,函數(shù)定義了一種“從一個(gè)集合的元素到另一個(gè)集合的元素”的關(guān)系,而兩個(gè)或以上的函數(shù)組合成的集合,就是函數(shù)空間,即函數(shù)空間也是一個(gè)集合；拉普拉斯變換的“定義域”,就是函數(shù)空間,可以說,拉普拉斯變換就是一種處理函數(shù)的函數(shù).由于拉普拉斯變換定義得相當(dāng)巧妙,所以它就具有一些奇特的特質(zhì)）,而且,這是一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系（只要給定復(fù)頻域的收斂域）,故只要給定一個(gè)時(shí)域函數(shù)（信號(hào)）,它就能通過拉普拉斯變換變換到一個(gè)復(fù)頻域信號(hào)（不管這個(gè)信號(hào)是實(shí)信號(hào)還是復(fù)信號(hào)）,因而,只要我們對(duì)這個(gè)復(fù)頻域信號(hào)進(jìn)行處理,也就相當(dāng)于對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行處理（例如設(shè)f(t)←→F(s),Re[s]>a,則若我們對(duì)F(s)進(jìn)行時(shí)延處理,得到信號(hào)F(s-z),Re[s]>a+Re[z],那么就相當(dāng)于我們給時(shí)域函數(shù)乘以一個(gè)旋轉(zhuǎn)因子e^zt,即f(t)e^zt←→F(s-z),Re[s]>a+Re[z]；只要對(duì)F(s-z)進(jìn)行反變換,就可以得到f(t)e^zt）.
拉普拉斯變換被用于求解微分方程,主要是應(yīng)用拉普拉斯變換的幾個(gè)性質(zhì),使求解微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獯鷶?shù)方程（因?yàn)榍蠼獯鷶?shù)方程總比求解微分方程容易得多!而且,（可以很方便地）對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行拉普拉斯反變換從而得到原微分方程的解）.
我們總可以容易地畫出實(shí)變函數(shù)的圖像（絕大多數(shù)函數(shù)的確如此）,但我們難以畫出一個(gè)復(fù)變函數(shù)的圖象,這也許是拉普拉斯變換比較抽象的原因之一；而另外一個(gè)原因,就是拉普拉斯變換中的復(fù)頻率s沒有明確的物理意義.
關(guān)于特征根和復(fù)數(shù),建議提問者再去看看書中的定義,應(yīng)該不難理解.
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